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乗法群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

数学と群論において、用語乗法群 (multiplicative group) は次の概念の1つを意味する:

1 の冪根の群スキーム

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1の n 乗根の群スキーム (group scheme of n-th roots of unity) は定義によって群スキーム (英語版)と考えて乗法群 GL(1) への n ベキ写像の核である。つまり、任意の整数 n > 1 に対して、単位元として働く射 e とともに、n 乗をとる乗法群の射を考えそのスキーム論の意味で適切なファイバー積をとることができる。

得られる群スキームは μn と書かれる。体 K 上とったときそれが被約スキーム (英語版)を生じることと K の標数が n を割らないことは同値である。これによってそれは非被約スキーム(構造層に冪零元があるスキーム)のいくつかの重要な例の源となる。例えば任意の素数 p に対して p 個の元からなる有限体上の μp。

この現象は代数幾何学の古典的な言葉で容易には表現されない。例えば標数 p のアーベル多様体の双対理論 (英語版)(Pierre Cartier の理論)を表現するのにそれはかなり重要であることがわかる。この群スキームのガロワコホモロジーはクンマー理論を表現する方法である。

例

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  • n を法とする整数の乗法群 (英語版)は群 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } の可逆元が乗法についてなす群である。n が素数でないとき、0 の他に可逆でない元が存在する。

脚注

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  1. ^ See Hazewinkel et al. (2004), p. 2.

参考文献

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関連項目

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