ヤコビの四平方定理
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ヤコビの四平方定理(英: Jacobi's four square theorem)は、自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数を与える定理 [1] 。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。
自然数Nを高々四個の平方数の和で表す方法の数は
- {\displaystyle r_{4}(N)=8\sum _{4{\nmid }d{\mid }N}d}
で与えられる。但し、シグマ記号は4で整除されないNの約数(1とNを含む)について和を取ることを表す。{\displaystyle N\geqq 1}ならば{\displaystyle r_{4}(N)\geqq 8}であるから、ヤコビの四平方定理はラグランジュの四平方定理を包含する。
ヤコビの四平方定理はヤコビが楕円関数論を使用して証明した。この定理はガウスが『整数論』の第182条で述べたものと同値である[2] 。
具体例
[編集 ]例えば、
- {\displaystyle r_{4}(12)=8\left(1+2+3+6\right)=96}
であるが、実際に12を高々四個の平方数の和で表す方法は
- {\displaystyle {\begin{aligned}12&=(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}+0^{2}\\&=(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}+0^{2}+(\pm 2)^{2}\\&=(\pm 2)^{2}+0^{2}+(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}\\&=0^{2}+(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}+(\pm 2)^{2}\\&=(\pm 3)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}\\&=(\pm 1)^{2}+(\pm 3)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}\\&=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 3)^{2}+(\pm 1)^{2}\\&=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}+(\pm 3)^{2}\\\end{aligned}}}
であり、符号と順序を区別すれば96個になる。
関連記事
[編集 ]- ラグランジュの四平方定理
- Disquisitiones Arithmeticae
脚注
[編集 ][脚注の使い方]
- ^ ハーディ & ライト (2012, pp. 317–321)
- ^ ハーディ & ライト (2012, p. 321)
参考文献
[編集 ]- ガウス, C・F・ 著、高瀬正仁 訳『ガウス整数論』朝倉書店〈数学史叢書〉、1995年6月20日(原著1801年)。ISBN 978-4-254-11457-7。
- ハーディ, G・H・、ライト, E・M・ 著、示野信一・矢神毅 訳『数論入門』 I、丸善出版〈シュプリンガー数学クラシックス8〉、2012年1月(原著2001年7月)。ISBN 978-4-621-06226-5。