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ボーア・モレルップの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

ボーア・モレルップの定理 (Bohr–Mollerup Theorem) は、ガンマ関数を特徴づける定理である。デンマーク人数学者のハラルト・ボーアとヨハネス・モレルップ (英語版)により証明された。この定理によると、正の実軸上で対数凸であり、 G ( x + 1 ) = x G ( x ) {\displaystyle G(x+1)=xG(x)} {\displaystyle G(x+1)=xG(x)}かつ G ( 1 ) = 1 {\displaystyle G(1)=1} {\displaystyle G(1)=1}を満たす複素解析関数は唯一ガンマ関数のみである[1] 。

証明1

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初めにガンマ関数が正の実軸上で対数凸であることを確かめる。ワイエルシュトラスの乗積表示から

Γ ( x ) = e − γ x x ∏ n = 1 ∞ n n + x e x / n log ⁡ Γ ( x ) = − γ x − log ⁡ x + ∑ n = 1 ∞ ( log ⁡ n − log ⁡ ( n + x ) + x n ) d d x log ⁡ Γ ( x ) = − γ − 1 x + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 n + x + 1 n ) d 2 d x 2 log ⁡ Γ ( x ) = 1 x 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 ( n + x ) 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + x ) 2 > 0 ( x > 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (x)={\frac {e^{-{\gamma }x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n+x}}e^{x/n}\\&\log \Gamma (x)=-{\gamma }x-\log {x}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\log {n}-\log {(n+x)}+{\frac {x}{n}}\right)\\&{\frac {d}{dx}}\log \Gamma (x)=-{\gamma }-{\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{n+x}}+{\frac {1}{n}}\right)\\&{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log \Gamma (x)={\frac {1}{x^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}>0\qquad (x>0)\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (x)={\frac {e^{-{\gamma }x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n+x}}e^{x/n}\\&\log \Gamma (x)=-{\gamma }x-\log {x}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\log {n}-\log {(n+x)}+{\frac {x}{n}}\right)\\&{\frac {d}{dx}}\log \Gamma (x)=-{\gamma }-{\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{n+x}}+{\frac {1}{n}}\right)\\&{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log \Gamma (x)={\frac {1}{x^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}>0\qquad (x>0)\\\end{aligned}}}

であり、対数の二階微分が正であるからガンマ関数は正の実軸上で対数凸である。また、 Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)} {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}と Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} {\displaystyle \Gamma (1)=1}もガンマ関数の特徴として周知のものであるから、ガンマ関数はボーア・モレルップの定理の要求を充足する。次に未知の関数 G ( x ) {\displaystyle G(x)} {\displaystyle G(x)}がボーア・モレルップの定理の要求を充足するものと仮定して G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)}であることを証明する。

f ( x ) = log ⁡ Γ ( x ) − log ⁡ G ( x ) {\displaystyle f(x)=\log {\Gamma (x)}-\log {G(x)}} {\displaystyle f(x)=\log {\Gamma (x)}-\log {G(x)}}

と定義する。 G ( x + 1 ) = x G ( x ) {\displaystyle G(x+1)=xG(x)} {\displaystyle G(x+1)=xG(x)}であるから

f ( x + 1 ) = log ⁡ Γ ( x + 1 ) − log ⁡ G ( x + 1 ) = log ⁡ x + log ⁡ Γ ( x ) − log ⁡ x − log ⁡ G ( x ) = f ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x+1)&=\log {\Gamma (x+1)}-\log {G(x+1)}\\&=\log {x}+\log {\Gamma (x)}-\log {x}-\log {G(x)}\\&=f(x)\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}f(x+1)&=\log {\Gamma (x+1)}-\log {G(x+1)}\\&=\log {x}+\log {\Gamma (x)}-\log {x}-\log {G(x)}\\&=f(x)\\\end{aligned}}}

であり、 n {\displaystyle n} {\displaystyle n}を任意の自然数として f ( x + n ) = f ( x ) {\displaystyle f(x+n)=f(x)} {\displaystyle f(x+n)=f(x)}である。また、 G ( 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle G(1)=\Gamma (1)=1} {\displaystyle G(1)=\Gamma (1)=1}であるから f ( n ) = 0 {\displaystyle f(n)=0} {\displaystyle f(n)=0}である。背理法を用い、 f ( x 0 ) ≠ 0 {\displaystyle f(x_{0})\neq 0} {\displaystyle f(x_{0})\neq 0}となる点が実軸上に存在すると仮定する。しかし、 f ( ⌊ x 0 ⌋ ) = f ( ⌈ x 0 ⌉ ) = 0 {\displaystyle f(\lfloor {x_{0}}\rfloor )=f(\lceil {x_{0}}\rceil )=0} {\displaystyle f(\lfloor {x_{0}}\rfloor )=f(\lceil {x_{0}}\rceil )=0}であるから、 f ( x 0 ) ≠ 0 {\displaystyle f(x_{0})\neq 0} {\displaystyle f(x_{0})\neq 0}が存在するためには f ′ ( x 1 ) > 0 , f ′ ( x 2 ) < 0 {\displaystyle f'(x_{1})>0,f'(x_{2})<0} {\displaystyle f'(x_{1})>0,f'(x_{2})<0}が存在しなければならず、延いては f ″ ( x 3 ) = ϵ > 0 {\displaystyle f''(x_{3})=\epsilon >0} {\displaystyle f''(x_{3})=\epsilon >0}が存在しなければならない。これは

f ″ ( x 3 ) = f ″ ( x 3 + n ) = d 2 d x 2 log ⁡ Γ ( n + x 3 ) − d 2 d x 2 log ⁡ G ( n + x 3 ) = ϵ {\displaystyle f''(x_{3})=f''(x_{3}+n)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log {\Gamma (n+x_{3})}-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log {G(n+x_{3})}=\epsilon } {\displaystyle f''(x_{3})=f''(x_{3}+n)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log {\Gamma (n+x_{3})}-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log {G(n+x_{3})}=\epsilon }

を意味する。しかし、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } {\displaystyle n\to \infty }とすると d 2 d x 2 log ⁡ Γ ( n + x ) → 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log \Gamma (n+x)\to 0} {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log \Gamma (n+x)\to 0}であるから d 2 d x 2 log ⁡ G ( n + x ) → − ϵ < 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log {G(n+x)}\to -\epsilon <0} {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log {G(n+x)}\to -\epsilon <0}とならなければならず、 G ( x ) {\displaystyle G(x)} {\displaystyle G(x)}が対数凸であるという要求に反する。故に背理法の仮定は成立せず、常に f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} {\displaystyle f(x)=0}であり、 G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)}である。以上により、 x > 0 {\displaystyle x>0} {\displaystyle x>0}で G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)}が示されたが、一致の定理により正則な定義域全体で G ( z ) = Γ ( z ) {\displaystyle G(z)=\Gamma (z)} {\displaystyle G(z)=\Gamma (z)}となる。

証明2

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初めにガンマ関数が正の実軸上で対数凸であることを確かめる。ヘルダーの不等式により、

Γ ( c x + ( 1 − c ) y ) = ∫ 0 ∞ t c x + ( 1 − c ) y − 1 e − t d t = ∫ 0 ∞ ( t x − 1 e − t ) c ( t y − 1 e − t ) 1 − c d t ≤ ( ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t ) c ( ∫ 0 ∞ t y − 1 e − t d t ) 1 − c ( x ≥ 0 , y ≥ 0 , 0 ≤ c ≤ 1 ) = ( Γ ( x ) ) c ( Γ ( y ) ) 1 − c {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (cx+(1-c)y)&=\int _{0}^{\infty }{t^{cx+(1-c)y-1}e^{-t}}dt\\&=\int _{0}^{\infty }{(t^{x-1}e^{-t})^{c}(t^{y-1}e^{-t})^{1-c}}dt\\&\leq \left(\int _{0}^{\infty }{t^{x-1}e^{-t}}dt\right)^{c}\left(\int _{0}^{\infty }{t^{y-1}e^{-t}}dt\right)^{1-c}\qquad (x{\geq }0,y{\geq }0,0{\leq }c{\leq }1)\\&={\big (}\Gamma (x){\big )}^{c}{\big (}\Gamma (y){\big )}^{1-c}\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (cx+(1-c)y)&=\int _{0}^{\infty }{t^{cx+(1-c)y-1}e^{-t}}dt\\&=\int _{0}^{\infty }{(t^{x-1}e^{-t})^{c}(t^{y-1}e^{-t})^{1-c}}dt\\&\leq \left(\int _{0}^{\infty }{t^{x-1}e^{-t}}dt\right)^{c}\left(\int _{0}^{\infty }{t^{y-1}e^{-t}}dt\right)^{1-c}\qquad (x{\geq }0,y{\geq }0,0{\leq }c{\leq }1)\\&={\big (}\Gamma (x){\big )}^{c}{\big (}\Gamma (y){\big )}^{1-c}\\\end{aligned}}}

であり、対数をとると

log ⁡ Γ ( c x + ( 1 − c ) y ) ≤ c log ⁡ Γ ( x ) + ( 1 − c ) log ⁡ Γ ( y ) {\displaystyle {\log \Gamma (cx+(1-c)y)}\leq {c\log \Gamma (x)+(1-c)\log \Gamma (y)}} {\displaystyle {\log \Gamma (cx+(1-c)y)}\leq {c\log \Gamma (x)+(1-c)\log \Gamma (y)}}

であるから、故にガンマ関数は対数凸である。また、 Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)} {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}と Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} {\displaystyle \Gamma (1)=1}もガンマ関数の特徴として周知のものであるから、ガンマ関数はボーア・モレルップの定理の要求を充足する。次に未知の関数 G ( x ) {\displaystyle G(x)} {\displaystyle G(x)}がボーア・モレルップの定理の要求を充足するものと仮定して G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)}であることを証明する。 G ( x ) {\displaystyle G(x)} {\displaystyle G(x)}は実軸上で対数凸であるから

log ⁡ G ( x + c ) ≤ ( 1 − c ) log ⁡ G ( x ) + c log ⁡ G ( x + 1 ) ( x ≥ 1 , 0 ≤ c ≤ 1 ) G ( x + c ) ≤ G ( x ) 1 − c G ( x + 1 ) c = G ( x ) x c {\displaystyle {\begin{aligned}&{\log {G(x+c)}}\leq {(1-c)\log {G(x)}+c\log {G(x+1)}}\qquad (x{\geq }1,0{\leq }c{\leq }1)\\&{G(x+c)}\leq {G(x)^{1-c}G(x+1)^{c}=G(x)x^{c}}\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}&{\log {G(x+c)}}\leq {(1-c)\log {G(x)}+c\log {G(x+1)}}\qquad (x{\geq }1,0{\leq }c{\leq }1)\\&{G(x+c)}\leq {G(x)^{1-c}G(x+1)^{c}=G(x)x^{c}}\\\end{aligned}}}

である。また、

log ⁡ G ( x + 1 ) ≤ c log ⁡ G ( x + c ) + ( 1 − c ) log ⁡ G ( x + 1 + c ) ( x ≥ 1 , 0 ≤ c ≤ 1 ) G ( x + 1 ) ≤ G ( x + c ) c G ( x + 1 + c ) 1 − c = G ( x + c ) ( x + c ) 1 − c G ( x + 1 ) ( x + c ) − ( 1 − c ) ≤ G ( x + c ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\log {G(x+1)}}\leq {c\log {G(x+c)}+(1-c)\log {G(x+1+c)}}\qquad (x{\geq }1,0{\leq }c{\leq }1)\\&{G(x+1)}\leq {G(x+c)^{c}G(x+1+c)^{1-c}=G(x+c)(x+c)^{1-c}}\\&{G(x+1)(x+c)^{-(1-c)}}\leq {G(x+c)}\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}&{\log {G(x+1)}}\leq {c\log {G(x+c)}+(1-c)\log {G(x+1+c)}}\qquad (x{\geq }1,0{\leq }c{\leq }1)\\&{G(x+1)}\leq {G(x+c)^{c}G(x+1+c)^{1-c}=G(x+c)(x+c)^{1-c}}\\&{G(x+1)(x+c)^{-(1-c)}}\leq {G(x+c)}\\\end{aligned}}}

であるから、合わせて

G ( x + 1 ) ( x + c ) − ( 1 − c ) ≤ G ( x + c ) ≤ G ( x ) x c ( x ≥ 1 , 0 ≤ c ≤ 1 ) G ( x ) x c ( x x + c ) 1 − c ≤ G ( x + c ) ≤ G ( x ) x c {\displaystyle {\begin{aligned}&G(x+1)(x+c)^{-(1-c)}\leq {G(x+c)}\leq {G(x)x^{c}}\qquad (x{\geq }1,0{\leq }c{\leq }1)\\&G(x)x^{c}\left({\frac {x}{x+c}}\right)^{1-c}\leq {G(x+c)}\leq {G(x)x^{c}}\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}&G(x+1)(x+c)^{-(1-c)}\leq {G(x+c)}\leq {G(x)x^{c}}\qquad (x{\geq }1,0{\leq }c{\leq }1)\\&G(x)x^{c}\left({\frac {x}{x+c}}\right)^{1-c}\leq {G(x+c)}\leq {G(x)x^{c}}\\\end{aligned}}}

となる。 x = n {\displaystyle x=n} {\displaystyle x=n}を整数とし、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } {\displaystyle n\to \infty }とすれば不等式の両端が一致して

( n − 1 ) ! n c ( n n + c ) 1 − c ≤ G ( c ) ∏ k = 0 n − 1 ( c + k ) ≤ ( n − 1 ) ! n c ( 0 ≤ c ≤ 1 ) G ( c ) = lim n → ∞ ( n − 1 ) ! n c ∏ k = 0 n − 1 ( k + c ) = lim n → ∞ n ! n c ∏ k = 0 n ( k + c ) = Γ ( c ) ( 0 ≤ c ≤ 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{(n-1)!n^{c}\left({\frac {n}{n+c}}\right)^{1-c}}\leq {G(c)}\prod _{k=0}^{n-1}{(c+k)}\leq {(n-1)!n^{c}}\qquad (0{\leq }c{\leq }1)\\&G(c)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n-1)!n^{c}}{\prod _{k=0}^{n-1}{(k+c)}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{c}}{\prod _{k=0}^{n}{(k+c)}}}=\Gamma (c)\qquad (0{\leq }c{\leq }1)\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}&{(n-1)!n^{c}\left({\frac {n}{n+c}}\right)^{1-c}}\leq {G(c)}\prod _{k=0}^{n-1}{(c+k)}\leq {(n-1)!n^{c}}\qquad (0{\leq }c{\leq }1)\\&G(c)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n-1)!n^{c}}{\prod _{k=0}^{n-1}{(k+c)}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{c}}{\prod _{k=0}^{n}{(k+c)}}}=\Gamma (c)\qquad (0{\leq }c{\leq }1)\\\end{aligned}}}

を得る。以上により、 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle 0{\leq }x{\leq }1} {\displaystyle 0{\leq }x{\leq }1}で G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)}が示されたが、一致の定理により正則な定義域全体で G ( z ) = Γ ( z ) {\displaystyle G(z)=\Gamma (z)} {\displaystyle G(z)=\Gamma (z)}となる。

出典

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参考文献

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  • Artin, Emil (1964). The Gamma Function. Holt, Rinehart, Winston.
  • Mollerup, J., Bohr, H. (1922). Lærebog i Kompleks Analyse vol. III, Copenhagen. (Textbook in Complex Analysis)

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