シグモイド
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シグモイド(英: sigmoid)とは、ギリシア文字 シグマ (σ) の語末形(ς)に似た形のこと。S字形ともいう。
特に各種グラフに現れるシグモイド曲線 (英: sigmoid curve) を指す。このようなグラフは個体群増加や、ある閾値以上で起きる反応(例えば急性毒性試験での死亡率)などに見られる。
共通する特徴
[編集 ]{\displaystyle (-\infty ,\infty )\rightarrow (a,b)} の単調増加 連続関数で表される。
{\displaystyle y=a} と {\displaystyle y=b} を漸近線に持ち、
- {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }y=a}
- {\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }y=b}
- {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \pm \infty }{\dot {y}}=0}
である。
1つの変曲点を持つ。つまり、変曲点を {\displaystyle (x_{\mathrm {s} },y_{\mathrm {s} })} とすると、
- {\displaystyle x<x_{\mathrm {s} }} では下に凸
- {\displaystyle x=x_{\mathrm {s} }}(変曲点) では傾き最大
- {\displaystyle x>x_{\mathrm {s} }} では上に凸
となる。
式の例
[編集 ]- ロジスティック関数
- 正規分布の累積分布関数 (Φ-1) - プロビットの逆関数
- ゴンペルツ関数
- 逆正接関数 (arctan)
- {\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
- グーデルマン関数 {\displaystyle {\rm {gd}},円x=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}=\arcsin(\tanh(x))}
- {\displaystyle {\frac {x}{1+|x|}}}
実際の例
[編集 ]生化学ではアロステリック タンパク質(または酵素)の飽和(反応)曲線にシグモイド曲線がよく見られるが、これは正の協同性があることを示す。一般にヒルの式という経験式で表されるが、これも変数を対数に変換すればロジスティック関数の形になる。