数学において、ケイリー=アロンホルトの微分作用素(ケイリー=アロンホルトのびぶんさようそ)は、多項式環上で定義される三つの微分作用素である。作用素の名は19世紀のイギリスの数学者アーサー・ケイリーとドイツの数学者ジークフリート・ハインリッヒ・アロンホルト (英語版)に因む。二次の特殊線形リー環の表現を与えており、古典的不変式論において、基本的な役割を果たす。
{\displaystyle \xi =(\xi _{0},\xi _{1},\cdots ,\xi _{n})} を不定元とし、標数0の体 K を係数とする多項式に対し、
- {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{l=0}^{n}(n-2l)\xi _{l}{\frac {\partial }{\partial \xi _{l}}}}
- {\displaystyle {\mathcal {D}}=\sum _{l=0}^{n}l\xi _{l-1}{\frac {\partial }{\partial \xi _{l}}}}
- {\displaystyle \Delta =\sum _{l=0}^{n}(n-l)\xi _{l+1}{\frac {\partial }{\partial \xi _{l}}}}
で定義される、多項式環 {\displaystyle K[\xi ]} 上の微分 {\displaystyle {\mathcal {H}},,円{\mathcal {D}},,円\Delta } をケイリー=アロンホルトの微分作用素という。
単項式 {\displaystyle \varphi =\xi _{0}^{m_{0}}\cdots \xi _{n}^{m_{n}}} に対し、その次数 {\displaystyle \operatorname {deg} \varphi }、重さ {\displaystyle \operatorname {weight} \varphi } は、
- {\displaystyle \operatorname {deg} \varphi =\sum _{l=0}^{n}m_{l}}
- {\displaystyle \operatorname {weight} \varphi =\sum _{l=0}^{n}l\cdot m_{l}}
で定義される。
{\displaystyle {\mathcal {H}},,円{\mathcal {D}},,円\Delta } の作用で次数 {\displaystyle \operatorname {deg} \varphi } は不変であるが、重さ {\displaystyle \operatorname {weight} \varphi } については、
- {\displaystyle \operatorname {weight} {\mathcal {H}}\varphi =\operatorname {weight} \varphi }
- {\displaystyle \operatorname {weight} {\mathcal {D}}\varphi =\operatorname {weight} \varphi -1}
- {\displaystyle \operatorname {weight} \Delta \varphi =\operatorname {weight} \varphi +1}
が成り立つ。
全ての項の次数が等しい多項式を同次多項式、全ての項の重さが等しい多項式を同重多項式という。同次同重多項式 {\displaystyle \phi (\xi )\in K[\xi ]} に対し、その指数 {\displaystyle \operatorname {ind} \phi } を
- {\displaystyle \operatorname {ind} \phi =n\operatorname {deg} \phi -2\operatorname {weight} \phi }
で定めると
- {\displaystyle {\mathcal {H}}\phi (\xi )=\operatorname {ind} \phi \cdot \phi (\xi )}
が成り立つ。
交換子積を{\displaystyle [X,Y]=XY-YX}で定めると、{\displaystyle {\mathcal {H}},,円{\mathcal {D}},,円\Delta }同士の交換子は、
- {\displaystyle [{\mathcal {D}},\Delta ]={\mathcal {H}},,円,円[{\mathcal {H}},{\mathcal {D}}]=2{\mathcal {D}},,円,円[{\mathcal {H}},\Delta ]=-2\Delta }
の関係を満たす。
これは二次特殊線形リー環{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)} の基底
- {\displaystyle H={\begin{pmatrix}-1&0\0円&1\end{pmatrix}},,円,円X={\begin{pmatrix}0&0\1円&0\end{pmatrix}},,円,円Y={\begin{pmatrix}0&1\0円&0\end{pmatrix}}}
が満たす関係
- {\displaystyle [X,Y]=H,,円,円[H,X]=2X,,円,円[H,Y]=-2Y}
に対応している。
そこで、{\displaystyle \rho :{\mathfrak {sl}}(2)\rightarrow {\mathfrak {gl}}(K[\xi ])}を対応関係
- {\displaystyle \lambda H+\mu X+\nu Y\rightarrow \lambda {\mathcal {H}}+\mu {\mathcal {D}}+\nu \Delta \quad (\lambda ,\mu ,\nu \in K)}
で与えれば、{\displaystyle \rho }は{\displaystyle K[\xi ]}を表現空間とする{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}のリー代数の表現となる。