グラム・シュミットの正規直交化法

グラム・シュミットの正規直交化法(グラム・シュミットのせいきちょっこうかほう、英: Gram–Schmidt orthonormalization)とは、計量ベクトル空間に属する線型独立な有限個のベクトルが与えられたとき、それらと同じ部分空間を張る 正規直交系を作り出すアルゴリズムの一種^[1] 。シュミットの直交化(ちょっこうか、orthogonalization)ともいう。ヨルゲン・ペダーセン・グラムおよびエルハルト・シュミットに因んで名付けられた。変換行列は上三角行列に取ることができる。正規化する工程を省略すると、必ずしも正規でない直交系を得ることができる。

V を計量ベクトル空間とし、V のベクトル v, u の内積を (v, u) と表すことにする。与えられたベクトルの線型独立系を {v₁, v₂, ..., v_n} とする。

直交化

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}_{1}&:={\boldsymbol {v}}_{1}\\{\boldsymbol {u}}_{2}&:={\boldsymbol {v}}_{2}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{2})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}\\{\boldsymbol {u}}_{3}&:={\boldsymbol {v}}_{3}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{3})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {v}}_{3})}{({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {u}}_{2})}}{\boldsymbol {u}}_{2}\\&\vdots \\{\boldsymbol {u}}_{n}&:={\boldsymbol {v}}_{n}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {u}}_{2})}}{\boldsymbol {u}}_{2}-\dotsb -{\frac {({\boldsymbol {u}}_{n-1},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{n-1},{\boldsymbol {u}}_{n-1})}}{\boldsymbol {u}}_{n-1}\\&:={\boldsymbol {v}}_{n}-\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n-1}{\dfrac {({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {u}}_{i})}}{\boldsymbol {u}}_{i}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}_{1}&:={\boldsymbol {v}}_{1}\\{\boldsymbol {u}}_{2}&:={\boldsymbol {v}}_{2}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{2})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}\\{\boldsymbol {u}}_{3}&:={\boldsymbol {v}}_{3}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{3})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {v}}_{3})}{({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {u}}_{2})}}{\boldsymbol {u}}_{2}\\&\vdots \\{\boldsymbol {u}}_{n}&:={\boldsymbol {v}}_{n}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {u}}_{2})}}{\boldsymbol {u}}_{2}-\dotsb -{\frac {({\boldsymbol {u}}_{n-1},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{n-1},{\boldsymbol {u}}_{n-1})}}{\boldsymbol {u}}_{n-1}\\&:={\boldsymbol {v}}_{n}-\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n-1}{\dfrac {({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {u}}_{i})}}{\boldsymbol {u}}_{i}\end{aligned}}}

によって順に新しいベクトルを作っていくと、{u₁, u₂, ..., u_n} は新しい線型独立系になる。構成から、互いに直交していることは容易に分かる。

正規化

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}:={\frac {{\boldsymbol {u}}_{i}}{({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {u}}_{i})^{1/2}}}}${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}:={\frac {{\boldsymbol {u}}_{i}}{({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {u}}_{i})^{1/2}}}}

とおけば {e₁, e₂, ..., e_n} が求める性質を満たす正規直交系であることが分かる。

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix analysis (Second ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6. MR 2978290 . https://books.google.co.jp/books?id=5I5AYeeh0JUC&pg=PA15  

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