リュカ数

リュカ数(リュカすう、英: Lucas number)とは、フランスの数学者 エドゥアール・リュカに因んで名付けられた数であり、n 番目のリュカ数を L_n で表すと

${\displaystyle L_{0}=2,\ L_{1}=1,}${\displaystyle L_{0}=2,\ L_{1}=1,}

${\displaystyle L_{n+2}=L_{n}+L_{n+1}}${\displaystyle L_{n+2}=L_{n}+L_{n+1}}

で定義される数列にある項のことである。つまり、初項(最初のリュカ数)を 2、次の項を 1 と定義し、それ以降の項は前の2つの項の和になっている数列のことである。

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443, 439204, 710647, 1149851, 1860498, 3010349, 4870847, 7881196, 12752043, 20633239, 33385282, 54018521, 87403803, 141422324, 228826127, 370248451, 599074578, 969323029, 1568397607, 2537720636, 4106118243, 6643838879, 10749957122, 17393796001.(オンライン整数列大辞典の数列 A000032)

漸化式 L_n+2 = L_n + L_n+1 を全ての整数 n に対して適用すると、n が負の整数である場合に拡張できる。例えば、-5 ≤ n ≤ 5 に対するリュカ数は次の値になる。

-11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11

さらに、一般には L_-n = (-1)ⁿL_n となる。

リュカ数は、フィボナッチ数と共に自然界に多く存在する。またフィボナッチ数 F_n との間に多くの関係式があり、例として

${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}}${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}}

${\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}}${\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}}

${\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}${\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}

などが挙げられる。また同じ項番号のフィボナッチ数とリュカ数の比 L_n/F_n は、n が大きくなるにつれて √5 = 2.23606798... に収束する。

フィボナッチ数と同様に、リュカ数も隣接する2項の比 L_n+1/L_n は n が大きくなるにつれて黄金比 ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} = 1.61803398... に近づく。

n 番目のリュカ数は以下の式で表される。

${\displaystyle L_{n}=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}=\phi ^{n}+(1-\phi )^{n}={\phi ^{n}+(-\phi )^{-n}}}${\displaystyle L_{n}=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}=\phi ^{n}+(1-\phi )^{n}={\phi ^{n}+(-\phi )^{-n}}}

ここで ${\displaystyle \phi }${\displaystyle \phi } は黄金比である。

リュカ素数(リュカそすう、英: Lucas prime)とは、リュカ数である素数である。

リュカ素数 L_n の最初のいくつかの項は以下の通りである。

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ....(オンライン整数列大辞典の数列 A005479)

L_n の n は以下の通りである。

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, ....(オンライン整数列大辞典の数列 A001606)

n = 0, 4, 8, 16 の場合を除いて、L_n が素数ならば n も素数である^[1] 。しかし、n が素数でも、L_n が素数になるとは限らない。

• 中村滋『フィボナッチ数の小宇宙(ミクロコスモス) フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割』日本評論社、2002年9月。ISBN 4-535-78281-4。 
  • 中村滋『フィボナッチ数の小宇宙(ミクロコスモス) フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割』(改訂版)日本評論社、2008年1月。ISBN 978-4-535-78492-5。 
• Carmichael, R. D. (1913), "On the numerical factors of the arithmetic forms αⁿ±βⁿ", Annals of Mathematics 15 (1/4): 30-70, doi:10.2307/1967797, JSTOR 1967797 , https://jstor.org/stable/1967797  
• Lucas, Edouard (1878), "Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques" (フランス語) (PDF), American Journal of Mathematics (Johns Hopkins University Press) 1 (2): pp.184-240 et 289-321, doi:10.2307/2369308 , http://edouardlucas.free.fr/oeuvres/Theorie_des_fonctions_simplement_periodiques.pdf  
  • Lucas, Edouard (1969) (英語) (PDF), The Theory of Simply Periodic Numerical Functions, Translated by Sidney Kravitz, Fibonacci Association, p. 77, http://www.fq.math.ca/simply-periodic.html   - Lucas (1878)の前半の英訳。

• 黄金比
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• リュカ数列

• 『リュカ数の意味とおもしろい性質』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Lucas Number". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Lucas Prime". mathworld.wolfram.com (英語).
• The Top Twenty: Lucas Number
• The Prime Glossary: Lucas prime

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