利用者:Kstar/一時保存/非線形制御

非線形制御(ひせんけいせいぎょ、英: Nonlinear control)は、制御工学において、とりわけ非線形または時変 (英語版)のシステム、あるいは両者を扱う制御方式。

多くの確立した解析および設計技術が、線形時不変系(LTIシステム)に存在する。 (例えば根軌跡 (英語版)、ボード線図、ナイキスト安定判別法 (英語版)、状態フィードバック、極配置 (英語版)。) しかしながら、一般的な制御システムにある制御器と制御対象の一方あるいは両方は、LTIシステムでない可能性がある。 したがって、これらの方法は必ずしも直接適用することができない。 非線形制御理論は、これらの一般的な制御システムに、既存の線形システムでの手法をどのように適用するかを研究する。 さらに、非線形制御理論は、LTIシステム理論を使用して解析することができない新しい制御方法を提供する。 LTIシステム理論を制御器の解析と設計に使用することができる場合であっても、非線形制御器が魅力的な特性となることがある。 (例えば、より単純な実装、より高速な動作、より少ない制御電力といった特性。)

非線形制御理論を証明するためには、厳密な解析学が必要となることが多い。

非線形動的システムの特性は以下の通り。

• 重ね合わせの原理(線形性と均質)に従わない。
• 多数の分離された均衡点が存在する可能性がある。
• リミットサイクル、分岐、カオスのような特性を示す場合がある。
• 有限の逃避時間 (escape time): 非線形システムの解が常に存在するとは限らない。

十分に発達したいくつかの非線形フィードバックシステムの解析手法がある:

• 記述関数 (英語版)法^{[1] [2]}
• 位相面法 (英語版)^[1]
• リアプノフ安定解析
• 特異摂動 (英語版)法^[3]
• ポポフ (英語版)の判定法(後述のLur'e問題を参照)
• 中心多様体理論 (英語版)
• 小利得の定理 (英語版)
• 受動性解析 (英語版)

非線形システムのための制御設計技術も存在する。 この方法は、特定の限られた範囲を線形システムとして扱うことを試みる技術と細分化することができる:

• ゲイン・スケジューリング (英語版)

システムを線形として扱い制御設計を行えるように、補助的な非線形フィードバックを導入することを試みる方法:

• フィードバック線形化 (英語版)

リャプノフに基づいた方法:

• リャプノフの再設計法 (英語版)
• 非線形減衰 (英語版)
• 後退
• スライディングモード制御 (英語版)

初期の非線形フィードバックシステム解析問題はA.I.Lur'eによって公式化された。 Lur'e問題で取り扱われている制御システムは、線形で時間不変のフォワード経路と、メモリのない時変で静的非線形のフィードバック経路を有する。

線形部は4つの行列 (A,B,C,D) で表すことができ、一方、非線形部は次式で示すΦ(y)で表すことができる。

${\displaystyle {\frac {\Phi (y)}{y}}\in [a,b],\quad a<b\quad \forall y}${\displaystyle {\frac {\Phi (y)}{y}}\in [a,b],\quad a<b\quad \forall y} (セクタ非線形)

Consider:

1. (A,B) is controllable and (C,A) is observable
2. two real numbers a, b with a<b, defining a sector for function Φ

The problem is to derive conditions involving only the transfer matrix H(s) and {a,b} such that x=0 is a globally uniformly asymptotically stable equilibrium of the system. This is known as the Lur'e problem. There are two well-known wrong conjections on absolute stability:

• The Aizerman's conjecture (英語版)
• The Kalman's conjecture (英語版).

There are counterexamples to Aizerman's and Kalman's conjectures such that nonlinearity belongs to the sector of linear stability and unique stable equilibrium coexists with a stable periodic solution -- hidden oscillation (英語版).

There are two main theorems concerning the problem:

• The Circle criterion (英語版)
• The ポポフ (英語版) criterion.

which give sufficient conditions of absolute stability.

The sub-class of Lur'e systems studied by ポポフ (英語版) is described by:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\dot {x}}&=&Ax+bu\\{\dot {\xi }}&=&u\\y&=&cx+d\xi \quad (1)\end{matrix}}}${\displaystyle {\begin{matrix}{\dot {x}}&=&Ax+bu\\{\dot {\xi }}&=&u\\y&=&cx+d\xi \quad (1)\end{matrix}}}

${\displaystyle {\begin{matrix}u=-\phi (y)\quad (2)\end{matrix}}}${\displaystyle {\begin{matrix}u=-\phi (y)\quad (2)\end{matrix}}}

where x ∈ Rⁿ, ξ,u,y are scalars and A,b,c,d have commensurate dimensions. The nonlinear element Φ: R → R is a time-invariant nonlinearity belonging to open sector (0, ∞). This means that

Φ(0) = 0, y Φ(y) > 0, ∀ y ≠ 0;

The transfer function from u to y is given by

${\displaystyle H(s)={\frac {d}{s}}+c(sI-A)^{-1}b\quad \quad }${\displaystyle H(s)={\frac {d}{s}}+c(sI-A)^{-1}b\quad \quad }

Theorem: Consider the system (1)-(2) and suppose

1. A is Hurwitz
2. (A,b) is controllable
3. (A,c) is observable
4. d>0 and
5. Φ ∈ (0,∞)

then the system is globally asymptotically stable if there exists a number r>0 such that
inf_{ω ∈ R} Re[(1+jωr)h(jω)] > 0 .

Things to be noted:

• The Popov criterion is applicable only to autonomous systems
• The system studied by Popov has a pole at the origin and there is no direct pass-through from input to output
• The nonlinearity Φ must satisfy an open sector condition

The フロベーニウス定理 (英語版) is a deep result (英語版) in Differential Geometry. When applied to Nonlinear Control, it says the following: Given a system of the form

${\displaystyle {\dot {x}}=\sum _{i=1}^{k}f_{i}(x)u_{i}(t),円}${\displaystyle {\dot {x}}=\sum _{i=1}^{k}f_{i}(x)u_{i}(t),円}

where ${\displaystyle x\in R^{n}}${\displaystyle x\in R^{n}}, ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}} are vector fields belonging to a distribution ${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta } and ${\displaystyle u_{i}(t)}${\displaystyle u_{i}(t)} are control functions, the integral curves of ${\displaystyle x}${\displaystyle x} are restricted to a manifold of dimension ${\displaystyle m}${\displaystyle m} if span(${\displaystyle \Delta )=m}${\displaystyle \Delta )=m} and ${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta } is an involutive distribution.

• Feedback passivation (英語版)
• 位相同期回路(PLL)

「https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=利用者:Kstar/一時保存/非線形制御&oldid=49544862」から取得

隠しカテゴリ:

• 解消済み仮リンクを含むページ
• ISBNマジックリンクを使用しているページ