Stetige Kohomologie

In der Mathematik ist die stetige Kohomologie eine Variante der Gruppenkohomologie, bei deren Definition aber nur stetige Kozykel zugelassen werden. Sie ist häufig Berechnungen zugänglicher als die Gruppenkohomologie und wird deshalb in verschiedenen Bereichen der Darstellungstheorie und globalen Analysis verwendet.

Es sei ${\displaystyle G}${\displaystyle G} eine topologische Gruppe. Die stetige Kohomologie ${\displaystyle H_{c}^{*}(G)}${\displaystyle H_{c}^{*}(G)} ist die Kohomologie des Komplexes ${\displaystyle (C_{c}^{n}(G),d^{n})}${\displaystyle (C_{c}^{n}(G),d^{n})} mit

${\displaystyle C_{c}^{n}=\left\{f\colon G^{n+1}\to \mathbb {R} \ {\mbox{stetig}}\ \mid f(\sigma \sigma _{1},\ldots ,\sigma \sigma _{n+1})=\sigma \cdot f(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n+1})\ \forall \ \sigma \in G\right\}}${\displaystyle C_{c}^{n}=\left\{f\colon G^{n+1}\to \mathbb {R} \ {\mbox{stetig}}\ \mid f(\sigma \sigma _{1},\ldots ,\sigma \sigma _{n+1})=\sigma \cdot f(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n+1})\ \forall \ \sigma \in G\right\}}

und

${\displaystyle (d^{n-1}f)(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}(-1)^{i}f(\sigma _{1},\ldots ,{\hat {\sigma }}_{i},\ldots ,\sigma _{n+1}).}${\displaystyle (d^{n-1}f)(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}(-1)^{i}f(\sigma _{1},\ldots ,{\hat {\sigma }}_{i},\ldots ,\sigma _{n+1}).}

Die Elemente dieses Komplexes heißen homogene stetige Koketten.

Die stetige Kohomologie halbeinfacher Lie-Gruppen kann mit dem Satz von van Est berechnet werden. Beispielsweise ist

${\displaystyle H_{c}^{i}(SO(n,1))={\begin{cases}\mathbb {R} ,&{\text{für }}i=0\0,円&{\text{sonst}}\end{cases}}}${\displaystyle H_{c}^{i}(SO(n,1))={\begin{cases}\mathbb {R} ,&{\text{für }}i=0\0,円&{\text{sonst}}\end{cases}}}

und

${\displaystyle H_{c}^{*}(SL(n,\mathbb {C} ))=\Lambda _{\mathbb {Z} }(b_{3},b_{5},\ldots ,b_{2n-1}),}${\displaystyle H_{c}^{*}(SL(n,\mathbb {C} ))=\Lambda _{\mathbb {Z} }(b_{3},b_{5},\ldots ,b_{2n-1}),}

wobei ${\displaystyle b_{i}\in H_{c}^{i}(SL(n,\mathbb {C} ))}${\displaystyle b_{i}\in H_{c}^{i}(SL(n,\mathbb {C} ))} die i-te Borel-Klasse bezeichnet.

• Armand Borel, Nolan Wallach: Continuous cohomology, discrete subgroups, and representations of reductive groups. Second edition. Mathematical Surveys and Monographs, 67. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. ISBN 0-8218-0851-6

• Darstellungstheorie von Gruppen
• Kohomologietheorie