Satz von van Est

In der mathematischen Theorie der Lie-Gruppen ermöglicht der van Est-Isomorphismus oder Satz von van Est die Berechnung der stetigen Kohomologie von halbeinfachen Lie-Gruppen. Er wurde von Willem Titus van Est bewiesen.

Die stetige Kohomologie ${\displaystyle H_{c}^{*}(G)}${\displaystyle H_{c}^{*}(G)} einer nicht-kompakten halbeinfachen Lie-Gruppe ${\displaystyle G}${\displaystyle G} kann berechnet werden als

${\displaystyle H_{c}^{*}(G)=H_{dR}^{*}(G^{u}/K)}${\displaystyle H_{c}^{*}(G)=H_{dR}^{*}(G^{u}/K)}.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle K}${\displaystyle K} eine maximal kompakte Untergruppe von ${\displaystyle G}${\displaystyle G} und ${\displaystyle G^{u}/K}${\displaystyle G^{u}/K} das kompakte Dual des symmetrischen Raumes ${\displaystyle G/K}${\displaystyle G/K}, sowie ${\displaystyle H_{dR}^{*}(G^{u}/K)}${\displaystyle H_{dR}^{*}(G^{u}/K)} die De-Rham-Kohomologie von ${\displaystyle G^{u}/K}${\displaystyle G^{u}/K}.

• Für ${\displaystyle G=SO(n,1)}${\displaystyle G=SO(n,1)} ist ${\displaystyle G/K=H^{n}}${\displaystyle G/K=H^{n}} der hyperbolische Raum, sein dualer symmetrischer Raum ist die Sphäre ${\displaystyle G^{u}/K=S^{n}}${\displaystyle G^{u}/K=S^{n}} und mit dem Satz von van Est erhält man

${\displaystyle H_{c}^{i}(SO(n,1)=H_{dR}^{i}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {R} ,&{\text{für }}i=0,n\0円&{\text{sonst}}\end{cases}}}${\displaystyle H_{c}^{i}(SO(n,1)=H_{dR}^{i}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {R} ,&{\text{für }}i=0,n\0円&{\text{sonst}}\end{cases}}}

• Für ${\displaystyle G=SL(n,\mathbb {C} )}${\displaystyle G=SL(n,\mathbb {C} )} ist ${\displaystyle G/K=SL(n,\mathbb {C} )/SU(n)}${\displaystyle G/K=SL(n,\mathbb {C} )/SU(n)} mit kompaktem Dual ${\displaystyle G^{u}/K=(SU(n)\times SU(n))/SU(n)\simeq SU(n)}${\displaystyle G^{u}/K=(SU(n)\times SU(n))/SU(n)\simeq SU(n)}, mit dem Satz von van Est erhält man

${\displaystyle H_{c}^{*}(SL(n,\mathbb {C} ))=H_{dR}^{*}(SU(n))=\Lambda _{\mathbb {Z} }(b_{3},b_{5},\ldots ,b_{2n-1}),}${\displaystyle H_{c}^{*}(SL(n,\mathbb {C} ))=H_{dR}^{*}(SU(n))=\Lambda _{\mathbb {Z} }(b_{3},b_{5},\ldots ,b_{2n-1}),}

wobei ${\displaystyle b_{i}\in H_{c}^{i}(SL(n,\mathbb {C} ))}${\displaystyle b_{i}\in H_{c}^{i}(SL(n,\mathbb {C} ))} die i-te Borel-Klasse bezeichnet.

• W.T. van Est: Group cohomology and Lie algebra cohomology in Lie groups I, II, Proc. Kon. Ned. Akad. 56 (1953), 484–504
• W.T. van Est: On the algebraic cohomology concepts in Lie groups I, II, Proc. Kon. Ned. Akad. 58 (1955), 225–233, 286–294
• W.T. van Est: Une application d’une méthode de Cartan-Leray, Proc. Kon. Ned. Akad. 58 (1955), 542–544

• Satz (Mathematik)
• Homologische Algebra