Skorochod-Integral

Das Skorochod-Integral (auch Hitsuda-Skorochod-Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff und zentraler Begriff des Malliavin-Kalküls. Das Integral ist eine Erweiterung des Itō-Integrals bezüglich der brownschen Bewegung für nicht-adaptierte Prozesse als Integranden und unendlich-dimensionale Verallgemeinerung der klassischen Divergenz. Das Skorochod-Integral ist der Divergenz-Operator des Malliavin-Kalküls im Falle des weißen Rauschens, d. h. wenn der zugrundeliegende Hilbert-Raum ein σ-endlicher L²-Raum ist, und zugleich der adjungierte Operator des Malliavin-Ableitungsoperators. Bei allgemeinen Hilbert-Räumen spricht man vom Divergenz-Operator, statt vom Skorochod-Integral. Alternativ lässt sich das Skorochod-Integral auch über die Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung definieren. Das Skorochod-Integral ist kein klassisches Integral, da es viele der üblichen Integral-Eigenschaften nicht mehr besitzt, wenn der Integrand allerdings adaptiert ist, dann stimmt es mit dem Itō-Integral überein.

Um den entsprechenden Kalkül von dem des Ogawa-Integrals zu unterscheiden, spricht man vom vorwegnehmenden Kalkül oder vorausschauenden Kalkül (englisch anticipating calculus) beim Skorochod-Integral und vom nicht-kausalen Kalkül beim Ogawa-Integral.

Das Hitsuda-Skorochod-Integral wurde 1972 (^[1] ) von dem japanischen Mathematiker Masuyuki Hitsuda und unabhängig davon 1975 (^[2] ) von dem ukrainischen Mathematiker Anatolij Skorochod eingeführt.

Sei

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum,
• ${\displaystyle H}${\displaystyle H} ein separabler Hilbertraum,
• ${\displaystyle \{e_{n},n\geq 1\}}${\displaystyle \{e_{n},n\geq 1\}} eine vollständige Orthonormalbasis von ${\displaystyle H}${\displaystyle H},
• ${\displaystyle \{W(h),h\in H\}}${\displaystyle \{W(h),h\in H\}} ein isonormaler Gauß-Prozess,
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\sigma (W)}${\displaystyle {\mathcal {F}}=\sigma (W)},
• ${\displaystyle \Lambda }${\displaystyle \Lambda } der Raum der Folgen mit endlichen Gliedern ungleich Null.

Für ein ${\displaystyle a\in \Lambda }${\displaystyle a\in \Lambda } definiere

• ${\displaystyle a!=\prod \limits _{i=1}^{\infty }a_{i}!\quad }${\displaystyle a!=\prod \limits _{i=1}^{\infty }a_{i}!\quad } und ${\displaystyle \quad |a|=\sum \limits _{i=1}^{\infty }a_{i}}${\displaystyle \quad |a|=\sum \limits _{i=1}^{\infty }a_{i}}.

Betrachte nun den Fall des weißen Rauschens ${\displaystyle H=L^{2}(T,{\mathcal {B}},\mu )}${\displaystyle H=L^{2}(T,{\mathcal {B}},\mu )}, wobei ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } σ-endlich und atomlos auf dem messbaren Raum ${\displaystyle (T,{\mathcal {B}})}${\displaystyle (T,{\mathcal {B}})} ist.

Sei ${\displaystyle D:\mathbb {D} ^{1,2}\to L^{2}(\Omega ;H)}${\displaystyle D:\mathbb {D} ^{1,2}\to L^{2}(\Omega ;H)} der Malliavin-Ableitungsoperator. Der Divergenz-Operator oder das Skorochod-Integral besitzt als Domäne alle Zufallsvariablen ${\displaystyle X\in L^{2}(\Omega ;H)}${\displaystyle X\in L^{2}(\Omega ;H)}, so dass

${\displaystyle |\mathbb {E} [\langle DU,X\rangle _{H}]|\leq c\|U\|_{L^{2}(\Omega )}}${\displaystyle |\mathbb {E} [\langle DU,X\rangle _{H}]|\leq c\|U\|_{L^{2}(\Omega )}}

für alle ${\displaystyle U\in \mathbb {D} ^{1,2}}${\displaystyle U\in \mathbb {D} ^{1,2}} gilt, wobei ${\displaystyle c}${\displaystyle c} eine Konstante ist, welche von ${\displaystyle U}${\displaystyle U} abhängt.

Das Skorochod-Integral ist der unbeschränkte Operator ${\displaystyle \delta :L^{2}(\Omega ;H)\to L^{2}(\Omega ;\mathbb {R} )}${\displaystyle \delta :L^{2}(\Omega ;H)\to L^{2}(\Omega ;\mathbb {R} )} definiert für ein ${\displaystyle X\in \operatorname {dom} (\delta )}${\displaystyle X\in \operatorname {dom} (\delta )} durch

${\displaystyle \mathbb {E} [U\delta (X)]=\mathbb {E} [\langle DU,X\rangle _{H}],}${\displaystyle \mathbb {E} [U\delta (X)]=\mathbb {E} [\langle DU,X\rangle _{H}],}

welches für alle ${\displaystyle U\in \mathbb {D} ^{1,2}}${\displaystyle U\in \mathbb {D} ^{1,2}} gilt.^[3]

Die Domäne ${\displaystyle \mathbb {D} ^{1,2}}${\displaystyle \mathbb {D} ^{1,2}} ist der Malliavin-Sobolew-Raum (oder Watanabe-Sobolew-Raum). Sei ${\displaystyle X\in \operatorname {dom} (\delta )\subset L^{2}(\Omega \times T)\cong L^{2}(\Omega ;H)}${\displaystyle X\in \operatorname {dom} (\delta )\subset L^{2}(\Omega \times T)\cong L^{2}(\Omega ;H)} ein Prozess, man verwendet für das Skorochod-Integral auch folgende Integral-Notation

${\displaystyle \delta (X)=\int _{T}X_{s}\delta W_{s}.}${\displaystyle \delta (X)=\int _{T}X_{s}\delta W_{s}.}

In Integral-Notation wird die Definition über die Malliavin-Ableitung zu

${\displaystyle \mathbb {E} \left[U\int _{T}X_{s}\delta W_{s}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{T}D_{t}UX_{t}dt\right].}${\displaystyle \mathbb {E} \left[U\int _{T}X_{s}\delta W_{s}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{T}D_{t}UX_{t}dt\right].}

Das Skorochod-Integral lässt sich auch als Prozess darstellen ${\displaystyle \{\delta (x1_{[0,t]}),t\in (0,|T|)\}}${\displaystyle \{\delta (x1_{[0,t]}),t\in (0,|T|)\}}.^[4]

Ist ${\displaystyle x}${\displaystyle x} an ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{W}=\sigma (W_{s},s\leq t)}${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{W}=\sigma (W_{s},s\leq t)} adaptiert, so stimmt das Integral mit dem Itō-Integral überein.

Sei ${\displaystyle H^{{\widehat {\otimes }}n}}${\displaystyle H^{{\widehat {\otimes }}n}} der ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-fache symmetrische Tensorproduktraum von ${\displaystyle H}${\displaystyle H} ausgestattet mit der Norm ${\displaystyle {\sqrt {n!}}\|\cdot \|_{H^{\otimes n}}}${\displaystyle {\sqrt {n!}}\|\cdot \|_{H^{\otimes n}}}. Weiter sei ${\displaystyle H=\bigoplus \limits _{n=0}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n}}${\displaystyle H=\bigoplus \limits _{n=0}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n}} die Wiener-Chaos-Zerlegung, ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}} das ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-te Wiener-Chaos und ${\displaystyle a\in \Lambda }${\displaystyle a\in \Lambda } ein Multiindex mit ${\displaystyle |a|=n}${\displaystyle |a|=n}. Dann ist das multiple stochastische Integral der Ordnung ${\displaystyle n}${\displaystyle n} die lineare Isometrie ${\displaystyle I_{n}:H^{{\hat {\otimes }}n}\to {\mathcal {H}}_{n}}${\displaystyle I_{n}:H^{{\hat {\otimes }}n}\to {\mathcal {H}}_{n}} definiert durch

${\displaystyle I_{n}(\operatorname {symm} (\otimes _{i=1}^{\infty }e_{i}^{\otimes a_{i}}))={\frac {1}{\sqrt {a!}}}\prod \limits _{i=1}^{\infty }H_{a_{i}}(W(e_{i}))}${\displaystyle I_{n}(\operatorname {symm} (\otimes _{i=1}^{\infty }e_{i}^{\otimes a_{i}}))={\frac {1}{\sqrt {a!}}}\prod \limits _{i=1}^{\infty }H_{a_{i}}(W(e_{i}))}

wobei ${\displaystyle H_{a_{i}}}${\displaystyle H_{a_{i}}} das ${\displaystyle a_{i}}${\displaystyle a_{i}}-te Hermite-Polynom ist. Nach der Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung gilt für einen Prozess ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}\in L^{2}(T\times \Omega )}${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}\in L^{2}(T\times \Omega )} die Zerlegung

${\displaystyle X_{t}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }I_{n}(f_{n}(t_{1},\dots ,t_{n},t)),}${\displaystyle X_{t}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }I_{n}(f_{n}(t_{1},\dots ,t_{n},t)),}

wobei ${\displaystyle f_{n}\in L^{2}(T^{n+1})}${\displaystyle f_{n}\in L^{2}(T^{n+1})} symmetrisch in den ersten ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Variablen ist. Sei nun

${\displaystyle {\tilde {f}}_{n}(t_{1},\dots ,t_{n},t)={\frac {1}{n+1}}\left(f_{n}(t_{1},\dots ,t_{n},t)+\sum \limits _{i=1}^{n}f_{n}(t_{1},\dots ,t_{i-1},t,t_{i+1},\dots ,t_{n},t_{i})\right)}${\displaystyle {\tilde {f}}_{n}(t_{1},\dots ,t_{n},t)={\frac {1}{n+1}}\left(f_{n}(t_{1},\dots ,t_{n},t)+\sum \limits _{i=1}^{n}f_{n}(t_{1},\dots ,t_{i-1},t,t_{i+1},\dots ,t_{n},t_{i})\right)}

die vollständige Symmetrisierung von ${\displaystyle f_{n}}${\displaystyle f_{n}}, dann ist das Skorochod-Integral definiert als

${\displaystyle \delta (X)=\int _{T}X_{t}\delta W_{t}:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }I_{n+1}({\tilde {f}}_{n})}${\displaystyle \delta (X)=\int _{T}X_{t}\delta W_{t}:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }I_{n+1}({\tilde {f}}_{n})}

und diese Reihe konvergiert genau dann in ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}${\displaystyle L^{2}(\Omega )} wenn ${\displaystyle X\in \operatorname {dom} (\delta )}${\displaystyle X\in \operatorname {dom} (\delta )}.^[5]

• Sei ${\displaystyle F\in \mathbb {D} ^{1,2}}${\displaystyle F\in \mathbb {D} ^{1,2}} und ${\displaystyle U\in \operatorname {dom} {\delta }}${\displaystyle U\in \operatorname {dom} {\delta }} so, dass ${\displaystyle FU\in L^{2}(\Omega ;H)}${\displaystyle FU\in L^{2}(\Omega ;H)}. Weiter sei ${\displaystyle F\delta (U)-\langle DF,U\rangle _{H}\in L^{2}(\Omega )}${\displaystyle F\delta (U)-\langle DF,U\rangle _{H}\in L^{2}(\Omega )}. Dann gilt ${\displaystyle FU\in \operatorname {dom} {\delta }}${\displaystyle FU\in \operatorname {dom} {\delta }} und

${\displaystyle \delta (FU)=F\delta (U)-\langle DF,U\rangle _{H}.}${\displaystyle \delta (FU)=F\delta (U)-\langle DF,U\rangle _{H}.}^[6]

1. ↑ Masuyuki Hitsuda: Formula for Brownian partial derivatives. In: Second Japan-USSR Symp. Probab. Th.2. 1972, S. 111–114. 
2. ↑ Anatolij Wolodymyrowytsch Skorochod: On a generalization of a stochastic integral. In: Th. Probab. Appl. Band 20, 1975, S. 219–233. 
3. ↑ David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 36–37, doi:10.1007/3-540-28329-3 . 
4. ↑ Dominique Michel und Etienne Pardoux: An introduction to Malliavin calculus and some of its applications, in Recent advances in stochastic calculus (College Park, MD, 1987), 65-104, Progr. Automat. Info. Systems, Springer, New York, 1990.
5. ↑ David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 4–41, doi:10.1007/3-540-28329-3 . 
6. ↑ David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 39, doi:10.1007/3-540-28329-3 . 

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