Reziprokenregel

Die Reziprokenregel^[1] oder Kehrwertregel^[2] dient zur Ableitung von Funktionen der Form ${\textstyle f(x)={\frac {1}{v(x)}},円.}${\textstyle f(x)={\frac {1}{v(x)}},円.} In Kurzschreibweise lautet sie

${\displaystyle \left({\frac {1}{v}}\right)'=-{\frac {v'}{v^{2}}},円.}${\displaystyle \left({\frac {1}{v}}\right)'=-{\frac {v'}{v^{2}}},円.}

Die Reziprokenregel kann als Spezialfall der Quotientenregel mit der konstanten Funktion ${\displaystyle u(x)=1}${\displaystyle u(x)=1} im Zähler aufgefasst werden.

Ist die Funktion ${\displaystyle v(x)}${\displaystyle v(x)} von einem Intervall ${\displaystyle D}${\displaystyle D} in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}} mit ${\displaystyle v(x_{0})\neq 0}${\displaystyle v(x_{0})\neq 0} differenzierbar, so ist auch die Funktion ${\displaystyle f}${\displaystyle f} mit ${\displaystyle f(x)=1/v(x)}${\displaystyle f(x)=1/v(x)} an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}}differenzierbar und es gilt

${\displaystyle f'(x_{0})=-{\frac {v'(x_{0})}{(v(x_{0}))^{2}}}.}${\displaystyle f'(x_{0})=-{\frac {v'(x_{0})}{(v(x_{0}))^{2}}}.}

Die Ableitung der Funktion

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sin(x)}}}${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sin(x)}}}

berechnet sich an allen Stellen ${\displaystyle x}${\displaystyle x} mit ${\displaystyle \sin(x)\neq 0}${\displaystyle \sin(x)\neq 0} nach der Reziprokenregel zu

${\displaystyle f'(x)=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}}${\displaystyle f'(x)=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}}.

Dabei wurde benutzt, dass die Kosinusfunktion die Ableitung der Sinusfunktion ist.

Ist ${\displaystyle v}${\displaystyle v} an ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}} differenzierbar, so ist ${\displaystyle v}${\displaystyle v} dort insbesondere stetig. Unter der Voraussetzung ${\displaystyle v(x_{0})\neq 0}${\displaystyle v(x_{0})\neq 0} gibt es deshalb eine Umgebung von ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}}, in der überall ${\displaystyle v(x)\neq 0}${\displaystyle v(x)\neq 0} ist. In dieser Umgebung ist der Differenzenquotient

${\displaystyle {\frac {1/v(x)-1/v(x_{0})}{x-x_{0}}}}${\displaystyle {\frac {1/v(x)-1/v(x_{0})}{x-x_{0}}}}

von ${\textstyle f(x)=1/v(x)}${\textstyle f(x)=1/v(x)} wohldefiniert. Bildet man den Hauptnenner der Brüche im Zähler und wendet grundlegende Bruchrechengesetze an, so erhält man für den Differenzenquotienten die Darstellung

${\displaystyle -{\frac {v(x)-v(x_{0})}{x-x_{0}}}\cdot {\frac {1}{v(x)v(x_{0})}}}${\displaystyle -{\frac {v(x)-v(x_{0})}{x-x_{0}}}\cdot {\frac {1}{v(x)v(x_{0})}}}.

Beim Grenzübergang ${\displaystyle x\to x_{0}}${\displaystyle x\to x_{0}} strebt der erste Faktor gegen ${\displaystyle v'(x_{0})}${\displaystyle v'(x_{0})} und der zweite Faktor gegen ${\textstyle 1/v(x_{0})^{2}}${\textstyle 1/v(x_{0})^{2}}. Also ist

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=-{\frac {v'(x_{0})}{v(x_{0})^{2}}}.}${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=-{\frac {v'(x_{0})}{v(x_{0})^{2}}}.}

1. ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 17. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 271.
2. ↑ Kehrwertregel für Ableitungen. In: Formelsammlung-Mathe.de. Abgerufen am 15. August 2019. 

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