Quotientenregel

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. In Kurzschreibweise lautet sie

${\displaystyle \left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}}${\displaystyle \left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}}.

Somit führt die Quotientenregel die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.

Sind die Funktionen ${\displaystyle u(x)}${\displaystyle u(x)} und ${\displaystyle v(x)}${\displaystyle v(x)} von einem Intervall ${\displaystyle D}${\displaystyle D} in die reellen oder komplexen Zahlen an einer Stelle ${\displaystyle x_{0}\in D}${\displaystyle x_{0}\in D} mit ${\displaystyle v(x_{0})\neq 0}${\displaystyle v(x_{0})\neq 0} differenzierbar, dann ist auch die Funktion ${\displaystyle f}${\displaystyle f} mit

${\displaystyle f(x):={\frac {u(x)}{v(x)}}}${\displaystyle f(x):={\frac {u(x)}{v(x)}}}

an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}${\displaystyle x_{0}} differenzierbar und es gilt

${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {u'(x_{0})\cdot v(x_{0})-u(x_{0})\cdot v'(x_{0})}{(v(x_{0}))^{2}}}}${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {u'(x_{0})\cdot v(x_{0})-u(x_{0})\cdot v'(x_{0})}{(v(x_{0}))^{2}}}}.^[1]

Für ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{2-3x}}}${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{2-3x}}} erhält man für ${\textstyle x\neq {\frac {2}{3}}}${\textstyle x\neq {\frac {2}{3}}} durch Anwendung der Quotientenregel

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {2x\cdot (2-3x)-(x^{2}-1)\cdot (-3)}{(2-3x)^{2}}}\\\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {2x\cdot (2-3x)-(x^{2}-1)\cdot (-3)}{(2-3x)^{2}}}\\\end{aligned}}}.

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen von Termen ergibt

${\displaystyle f'(x)={\frac {-3x^{2}+4x-3}{(2-3x)^{2}}}}${\displaystyle f'(x)={\frac {-3x^{2}+4x-3}{(2-3x)^{2}}}}.

Quotientenregel

Der Quotient ${\displaystyle u(x) \over v(x)}${\displaystyle u(x) \over v(x)} kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten ${\displaystyle u(x)}${\displaystyle u(x)} und ${\displaystyle v(x)}${\displaystyle v(x)} sind (siehe Abbildung). Wenn ${\displaystyle x}${\displaystyle x} um ${\displaystyle \Delta x}${\displaystyle \Delta x} anwächst, ändert sich ${\displaystyle u}${\displaystyle u} um ${\displaystyle \Delta u}${\displaystyle \Delta u} und ${\displaystyle v}${\displaystyle v} um ${\displaystyle \Delta v}${\displaystyle \Delta v}. Die Änderung der Steigung ist dann

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Delta \left({u \over v}\right)}&={{{u+\Delta u} \over {v+\Delta v}}-{u \over v}}\\&={{(u+\Delta u)\cdot v-u\cdot (v+\Delta v)} \over {(v+\Delta v)\cdot v}}\\&={{\Delta u\cdot v-u\cdot \Delta v} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}{\Delta \left({u \over v}\right)}&={{{u+\Delta u} \over {v+\Delta v}}-{u \over v}}\\&={{(u+\Delta u)\cdot v-u\cdot (v+\Delta v)} \over {(v+\Delta v)\cdot v}}\\&={{\Delta u\cdot v-u\cdot \Delta v} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}\end{aligned}}}

Dividiert man durch ${\displaystyle \Delta x}${\displaystyle \Delta x}, so folgt

${\displaystyle {{\Delta \left({u \over v}\right)} \over {\Delta x}}={{{\Delta u \over \Delta x}\cdot v-u\cdot {\Delta v \over \Delta x}} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}}${\displaystyle {{\Delta \left({u \over v}\right)} \over {\Delta x}}={{{\Delta u \over \Delta x}\cdot v-u\cdot {\Delta v \over \Delta x}} \over {v^{2}+\Delta v\cdot v}}}.

Bildet man nun den Grenzübergang ${\displaystyle \Delta x\to 0}${\displaystyle \Delta x\to 0}, so folgt

${\displaystyle {\left({u \over v}\right)'}={{u'\cdot v-u\cdot v'} \over {v^{2}}}}${\displaystyle {\left({u \over v}\right)'}={{u'\cdot v-u\cdot v'} \over {v^{2}}}}.

Für ${\displaystyle f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}=u(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}}${\displaystyle f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}=u(x)\cdot {\frac {1}{v(x)}}} gilt nach der Produktregel

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)=u'(x){\frac {1}{v(x)}}+u(x)\left({\frac {1}{v(x)}}\right)'.\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)=u'(x){\frac {1}{v(x)}}+u(x)\left({\frac {1}{v(x)}}\right)'.\end{aligned}}}

Mit der Kehrwertregel

${\displaystyle \left({\frac {1}{v(x)}}\right)'=-{\frac {v'(x)}{v^{2}(x)}}}${\displaystyle \left({\frac {1}{v(x)}}\right)'=-{\frac {v'(x)}{v^{2}(x)}}}

folgt hieraus nach elementaren Termumformungen

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}.\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}.\end{aligned}}}

Eine alternative Herleitung gelingt allein mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung ${\displaystyle f(x)\cdot v(x)=u(x)}${\displaystyle f(x)\cdot v(x)=u(x)}. Allerdings wird hierbei implizit vorausgesetzt, dass ${\displaystyle f(x)}${\displaystyle f(x)} überhaupt eine Ableitung besitzt, das heißt, dass ${\displaystyle f'(x)}${\displaystyle f'(x)} existiert.

${\displaystyle f'(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v'(x)=u'(x)}${\displaystyle f'(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v'(x)=u'(x)}

folglich:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {u'(x)}{v(x)}}-{\frac {u(x)}{v(x)}}\cdot {\frac {v'(x)}{v(x)}}\\&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}.\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {u'(x)}{v(x)}}-{\frac {u(x)}{v(x)}}\cdot {\frac {v'(x)}{v(x)}}\\&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}}.\end{aligned}}}

Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Buch erläutert, das die Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt. Einige konkrete Beispiele sind:

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2004, ISBN 3-528-67224-2, S. 155–157 (Auszug (Google))
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 129
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 270–271 (Auszug (Google))

• Quotientenregel auf Wikibooks

1. ↑ Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis 1. 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, ISBN 978-3-658-40129-0, S. 235. 

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Kategorie:

• Analysis