Restklasse

Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie ist die Restklasse einer Zahl ${\displaystyle a}${\displaystyle a} modulo einer Zahl ${\displaystyle m}${\displaystyle m} die Menge aller Zahlen, die bei Division durch ${\displaystyle m}${\displaystyle m} denselben Rest lassen wie ${\displaystyle a}${\displaystyle a}.^[1]

Es sei ${\displaystyle m}${\displaystyle m} eine von 0 verschiedene ganze Zahl und ${\displaystyle a}${\displaystyle a} eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von ${\displaystyle a}${\displaystyle a} modulo ${\displaystyle m}${\displaystyle m}, geschrieben

${\displaystyle a+m\mathbb {Z} ,}${\displaystyle a+m\mathbb {Z} ,}

ist die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle a}${\displaystyle a} bezüglich der Kongruenz modulo ${\displaystyle m}${\displaystyle m}, also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch ${\displaystyle m}${\displaystyle m} den gleichen Rest wie ${\displaystyle a}${\displaystyle a} ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen ${\displaystyle b}${\displaystyle b}, die sich aus ${\displaystyle a}${\displaystyle a} durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von ${\displaystyle m}${\displaystyle m} ergeben:

${\displaystyle a+m\mathbb {Z} =\{b\mid b=a+km\ ,円\mathrm {f{\ddot {u}}r\ ein} \ ,円k\in \mathbb {Z} \}=\{b\mid b\equiv a\;({\rm {mod}}\;m)\}}${\displaystyle a+m\mathbb {Z} =\{b\mid b=a+km\ ,円\mathrm {f{\ddot {u}}r\ ein} \ ,円k\in \mathbb {Z} \}=\{b\mid b\equiv a\;({\rm {mod}}\;m)\}}.

Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten ${\displaystyle 0,1,2,\dots ,m-1}${\displaystyle 0,1,2,\dots ,m-1}.

Die Menge aller Restklassen modulo ${\displaystyle m}${\displaystyle m} schreibt man häufig als ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } oder ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}. Sie hat ${\displaystyle m}${\displaystyle m} Elemente und die Struktur eines Ringes und wird deshalb Restklassenring genannt. Genau dann, wenn ${\displaystyle m}${\displaystyle m} eine Primzahl ist, ergibt sich sogar die Struktur eines endlichen Körpers.

Eine Restklasse modulo ${\displaystyle m}${\displaystyle m} heißt prime Restklasse, wenn ihre Elemente teilerfremd zu ${\displaystyle m}${\displaystyle m} sind. (Wenn dies für ein Element gilt, dann auch für alle anderen.) Die Menge der primen Restklassen ist die Gruppe der Einheiten ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }} (oder ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}^{*}}${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}^{*}}) im Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }; sie wird prime Restklassengruppe genannt und umfasst die multiplikativ invertierbaren Restklassen.

• Die Restklasse von 0 modulo 2 ist die Menge der geraden Zahlen.
• Die Restklasse von 1 modulo 2 ist die Menge der ungeraden Zahlen.
• Die Restklasse von 0 modulo ${\displaystyle m}${\displaystyle m} ist die Menge der Vielfachen von ${\displaystyle m}${\displaystyle m}.
• Die Restklasse von 1 modulo 3 ist die Menge ${\displaystyle \{\ldots ,-8,-5,-2,1,4,7,10,\ldots \}.}${\displaystyle \{\ldots ,-8,-5,-2,1,4,7,10,\ldots \}.}

Ist ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ein Ring und ${\displaystyle I\subseteq A}${\displaystyle I\subseteq A} ein Ideal, so heißen Mengen der Form

${\displaystyle a+I=\{a+i\mid i\in I\}}${\displaystyle a+I=\{a+i\mid i\in I\}}

Restklassen modulo ${\displaystyle I}${\displaystyle I}. Ist ${\displaystyle A}${\displaystyle A} kommutativ, oder ist ${\displaystyle I}${\displaystyle I} ein zweiseitiges Ideal, so hat die Menge ${\displaystyle A/I}${\displaystyle A/I} der Restklassen modulo ${\displaystyle I}${\displaystyle I} eine natürliche Ringstruktur und heißt Restklassenring , Quotientenring oder Faktorring modulo ${\displaystyle I}${\displaystyle I}. ${\displaystyle A/I}${\displaystyle A/I} wird durch Elemente in ${\displaystyle A}${\displaystyle A} repräsentiert, wobei die Restklassen ${\displaystyle a+I}${\displaystyle a+I} und ${\displaystyle b+I}${\displaystyle b+I} in ${\displaystyle A/I}${\displaystyle A/I} übereinstimmen, falls ${\displaystyle a-b\in I}${\displaystyle a-b\in I} gilt.

• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2002, ISBN 3-540-64630-2.

• Christian Spannagel: Restklassen und algebraische Strukturen. Vorlesungsreihe, 2012.
• Christian Spannagel: Kongruenzen und Restklassen. Vorlesungsreihe, 2012.

1. ↑ Fischer, Gerd.: Lineare Algebra – Eine Einführung für Studienanfänger. 18., aktualisierte Aufl. 2014. Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-03945-5, S. 50. 

• Zahlentheorie
• Ringtheorie