Faktorring

In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

Ist ${\displaystyle (R,+,\cdot )}${\displaystyle (R,+,\cdot )} ein Ring und ${\displaystyle I}${\displaystyle I} ein (beidseitiges) Ideal von ${\displaystyle R}${\displaystyle R}, dann bildet die Menge ${\displaystyle R/I=\left\{a+I\mid a\in R\right\}}${\displaystyle R/I=\left\{a+I\mid a\in R\right\}} der Äquivalenzklassen modulo ${\displaystyle I}${\displaystyle I} mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

• ${\displaystyle (a+I)+(b+I):=(a+b)+I}${\displaystyle (a+I)+(b+I):=(a+b)+I}
• ${\displaystyle (a+I)\cdot (b+I):=a\cdot b+I,}${\displaystyle (a+I)\cdot (b+I):=a\cdot b+I,}

wobei ${\displaystyle (a+I)}${\displaystyle (a+I)} definiert ist als ${\displaystyle \{a+r,円|,円r\in I\}}${\displaystyle \{a+r,円|,円r\in I\}}.

Diesen Ring nennt man den Faktorring ${\displaystyle R}${\displaystyle R} modulo ${\displaystyle I}${\displaystyle I} oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

• Die Menge ${\displaystyle n\mathbb {Z} }${\displaystyle n\mathbb {Z} } aller ganzzahligen Vielfachen von ${\displaystyle n}${\displaystyle n} ist ein Ideal in ${\displaystyle \mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {Z} }, und der Faktorring ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } ist der Restklassenring modulo ${\displaystyle n}${\displaystyle n}.

• Ist ${\displaystyle f\in R[X]}${\displaystyle f\in R[X]} ein Polynom über einem kommutativen unitärem Ring ${\displaystyle R}${\displaystyle R}, dann ist die Menge ${\displaystyle R[X]\cdot f=(f)}${\displaystyle R[X]\cdot f=(f)} aller Polynom-Vielfachen von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} ein Ideal im Polynomring ${\displaystyle R[X]}${\displaystyle R[X]}, und ${\displaystyle R[X]/(f)=\left\{g+(f)\mid g\in R[X]\right\}}${\displaystyle R[X]/(f)=\left\{g+(f)\mid g\in R[X]\right\}} ist der Faktorring ${\displaystyle R[X]}${\displaystyle R[X]} modulo ${\displaystyle f}${\displaystyle f}.

• Betrachten wir das Polynom ${\displaystyle f=X^{2}+1}${\displaystyle f=X^{2}+1} über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {R} } der reellen Zahlen, so ist der Faktorring ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(f)}${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(f)} isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle X}${\displaystyle X} entspricht dabei der imaginären Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }${\displaystyle \mathrm {i} }.

Rechenbeispiele:

Das Polynom ${\displaystyle X^{2}}${\displaystyle X^{2}} liegt wegen ${\displaystyle X^{2}=f-1}${\displaystyle X^{2}=f-1} in derselben Äquivalenzklasse modulo ${\displaystyle f}${\displaystyle f} wie ${\displaystyle -1}${\displaystyle -1}.

Für das Produkt ${\displaystyle [X+1]\cdot [X+2]}${\displaystyle [X+1]\cdot [X+2]} ermitteln wir ${\displaystyle [X+1]\cdot [X+2]=[(X+1)\cdot (X+2)]=[X^{2}+3X+2]=[3X+1]}${\displaystyle [X+1]\cdot [X+2]=[(X+1)\cdot (X+2)]=[X^{2}+3X+2]=[3X+1]}

• Man erhält alle endlichen Körper als Faktorringe der Polynomringe über den Restklassenkörpern ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } mit ${\displaystyle p}${\displaystyle p} Primzahl.

• Ist ${\displaystyle R}${\displaystyle R} ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal ${\displaystyle I}${\displaystyle I} genau dann ein Primideal, wenn ${\displaystyle R/I}${\displaystyle R/I} ein Integritätsring ist.
• Ist ${\displaystyle R}${\displaystyle R} ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal ${\displaystyle I}${\displaystyle I} genau dann ein maximales Ideal, wenn ${\displaystyle R/I}${\displaystyle R/I} ein Körper ist.
• Ist ${\displaystyle K}${\displaystyle K} ein Körper und ${\displaystyle f}${\displaystyle f} ein irreduzibles Polynom über ${\displaystyle K}${\displaystyle K}, dann ist ${\displaystyle (f)}${\displaystyle (f)} ein maximales Ideal in ${\displaystyle K[X]}${\displaystyle K[X]} und deshalb ist ${\displaystyle L\colon =K[X]/(f)}${\displaystyle L\colon =K[X]/(f)} ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von ${\displaystyle K}${\displaystyle K}, in dem ${\displaystyle f}${\displaystyle f} eine Nullstelle hat (die Restklasse von ${\displaystyle X}${\displaystyle X}). Die Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}${\displaystyle L/K} ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} überein. Wiederholt man das Verfahren mit den über ${\displaystyle L}${\displaystyle L} nicht-linearen irreduziblen Teilern von ${\displaystyle f}${\displaystyle f}, so erhält man schließlich einen Körper, in dem ${\displaystyle f}${\displaystyle f} in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von ${\displaystyle f}${\displaystyle f}.

Sei ${\displaystyle R}${\displaystyle R} ein kommutativer Ring mit Einselement und ${\displaystyle I\subseteq R}${\displaystyle I\subseteq R} ein Ideal. Dann sind

• die Ideale des Rings ${\displaystyle R/I}${\displaystyle R/I} genau die Ideale ${\displaystyle J}${\displaystyle J} von ${\displaystyle R}${\displaystyle R}, die ${\displaystyle I}${\displaystyle I} enthalten (also ${\displaystyle I\subseteq J}${\displaystyle I\subseteq J} )
• die Primideale des Rings ${\displaystyle R/I}${\displaystyle R/I} genau die Primideale von ${\displaystyle R}${\displaystyle R}, die ${\displaystyle I}${\displaystyle I} enthalten
• die Maximalideale des Rings ${\displaystyle R/I}${\displaystyle R/I} genau die Maximalideale von ${\displaystyle R}${\displaystyle R}, die ${\displaystyle I}${\displaystyle I} enthalten

Der Begriff ist zu unterscheiden vom faktoriellen Ring, in dem die eindeutige Primfaktorzerlegung existiert.

• Kurt Meyberg, Algebra I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 3: "Ringe"

• Ring (Algebra)
• Ringtheorie