Reflexive Relation

Die Reflexivität einer zweistelligen Relation ${\displaystyle R}${\displaystyle R} auf einer Menge ist gegeben, wenn ${\displaystyle xRx}${\displaystyle xRx} für alle Elemente ${\displaystyle x}${\displaystyle x} der Menge gilt, also jedes Element in Relation zu sich selbst steht. Man nennt ${\displaystyle R}${\displaystyle R} dann reflexiv.

Eine Relation heißt irreflexiv, wenn die Beziehung ${\displaystyle xRx}${\displaystyle xRx} für kein Element ${\displaystyle x}${\displaystyle x} der Menge gilt, also kein Element in Relation zu sich selbst steht. Es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind, wenn die Beziehung ${\displaystyle xRx}${\displaystyle xRx} für einige Elemente ${\displaystyle x}${\displaystyle x} der Menge gilt, doch nicht für alle.

Die Reflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation; die Irreflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine strikte Ordnungsrelation.

Ist ${\displaystyle M}${\displaystyle M} eine Menge und ${\displaystyle R\subseteq M\times M}${\displaystyle R\subseteq M\times M} eine zweistellige Relation auf ${\displaystyle M}${\displaystyle M}, dann definiert man (unter Verwendung der Infixnotation):

${\displaystyle R}${\displaystyle R} ist reflexiv :${\displaystyle \Longleftrightarrow \forall x\in M:xRx}${\displaystyle \Longleftrightarrow \forall x\in M:xRx}

${\displaystyle R}${\displaystyle R} ist irreflexiv :${\displaystyle \Longleftrightarrow \forall x\in M:\neg \ xRx}${\displaystyle \Longleftrightarrow \forall x\in M:\neg \ xRx}

• Die Kleiner-Gleich-Relation ${\displaystyle \leq }${\displaystyle \leq } auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets ${\displaystyle x\leq x}${\displaystyle x\leq x} gilt. Sie ist darüber hinaus eine Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation ${\displaystyle \geq }${\displaystyle \geq }.

• Die gewöhnliche Gleichheit ${\displaystyle =}${\displaystyle =} auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets ${\displaystyle x=x}${\displaystyle x=x} gilt. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

• Die Teilmengenbeziehung ${\displaystyle \subseteq }${\displaystyle \subseteq } zwischen Mengen ist reflexiv, da stets ${\displaystyle A\subseteq A}${\displaystyle A\subseteq A} gilt. Sie ist darüber hinaus eine Halbordnung.

• Die Kleiner-Relation ${\displaystyle <}${\displaystyle <} auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie ${\displaystyle x<x}${\displaystyle x<x} gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation ${\displaystyle >}${\displaystyle >}.

• Die Ungleichheit ${\displaystyle \neq }${\displaystyle \neq } auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie ${\displaystyle x\neq x}${\displaystyle x\neq x} gilt.

• Die echte Teilmengenbeziehung ${\displaystyle \subset }${\displaystyle \subset } zwischen Mengen ist irreflexiv, da nie ${\displaystyle A\subset A}${\displaystyle A\subset A} gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Halbordnung.

Die folgende Relation auf der Menge der reellen Zahlen ist weder reflexiv noch irreflexiv:

${\displaystyle xRy:\Longleftrightarrow y=x^{2}}${\displaystyle xRy:\Longleftrightarrow y=x^{2}}

Grund: Für ${\displaystyle x:=1}${\displaystyle x:=1} gilt ${\displaystyle xRx}${\displaystyle xRx}, für ${\displaystyle x:=2}${\displaystyle x:=2} gilt ${\displaystyle \neg xRx}${\displaystyle \neg xRx}.

Jede beliebige Relation ${\displaystyle R}${\displaystyle R} auf einer Menge ${\displaystyle M}${\displaystyle M} kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (siehe Beispiel im Bild oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von ${\displaystyle M}${\displaystyle M}. Vom Knoten ${\displaystyle a}${\displaystyle a} zum Knoten ${\displaystyle b}${\displaystyle b} wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil ${\displaystyle a\longrightarrow b}${\displaystyle a\longrightarrow b}) gezogen, wenn ${\displaystyle aRb}${\displaystyle aRb} gilt.

Die Reflexivität von ${\displaystyle R}${\displaystyle R} lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Für jeden Knoten ${\displaystyle a}${\displaystyle a} gibt es eine Schleife ${\displaystyle {\stackrel {a}{\circlearrowright }}}${\displaystyle {\stackrel {a}{\circlearrowright }}}. Entsprechend ist die Irreflexivität dadurch gegeben, dass es für keinen Knoten ${\displaystyle a}${\displaystyle a} eine Schleife ${\displaystyle {\stackrel {a}{\circlearrowright }}}${\displaystyle {\stackrel {a}{\circlearrowright }}} gibt.

• Mit Hilfe der identischen Relation ${\displaystyle Id_{M}}${\displaystyle Id_{M}} (die aus allen Paaren ${\displaystyle (x,x)}${\displaystyle (x,x)} besteht) kann man die Begriffe auch so charakterisieren:

  ${\displaystyle R}${\displaystyle R} ist reflexiv ${\displaystyle \Longleftrightarrow Id_{M}\subseteq R}${\displaystyle \Longleftrightarrow Id_{M}\subseteq R}

  ${\displaystyle R}${\displaystyle R} ist irreflexiv ${\displaystyle \Longleftrightarrow Id_{M}\cap R=\varnothing }${\displaystyle \Longleftrightarrow Id_{M}\cap R=\varnothing }

• Ist die Relation ${\displaystyle R}${\displaystyle R} reflexiv bzw. irreflexiv, dann gilt dies auch für die konverse Relation ${\displaystyle R^{-1}}${\displaystyle R^{-1}}. Beispiele: die zu ${\displaystyle \leq }${\displaystyle \leq } konverse Relation ist ${\displaystyle \geq }${\displaystyle \geq }, die zu ${\displaystyle <}${\displaystyle <} konverse ist ${\displaystyle >}${\displaystyle >}.

• Ist die Relation ${\displaystyle R}${\displaystyle R} reflexiv, dann ist die komplementäre Relation ${\displaystyle R^{\rm {c}}}${\displaystyle R^{\rm {c}}} irreflexiv. Ist ${\displaystyle R}${\displaystyle R} irreflexiv, dann ist ${\displaystyle R^{\rm {c}}}${\displaystyle R^{\rm {c}}} reflexiv. Dabei ist die komplementäre Relation definiert durch

  ${\displaystyle xR^{\rm {c}}y:\Longleftrightarrow \neg xRy}${\displaystyle xR^{\rm {c}}y:\Longleftrightarrow \neg xRy}.

• Die Relation auf der leeren Menge ist als einzige Relation sowohl reflexiv als auch irreflexiv.

• Nichtsättigungsaxiom
• Reflexive Hülle
• Reflexiv-transitive Hülle

• Mathematischer Grundbegriff
• Mengenlehre

• Wikipedia:Belege fehlen