Rapidität (Physik)

Die Rapidität ist ein alternatives Maß für Geschwindigkeit, das in der speziellen Relativitätstheorie verwendet wird. Als Formelzeichen wird meist ${\displaystyle \theta }${\displaystyle \theta } (kleines Theta) verwendet. Erstmals formuliert wurde der Begriff im Jahr 1911 von Alfred Robb.

Die Rapidität ist definiert als

${\displaystyle \theta =\operatorname {artanh} (v/c),}${\displaystyle \theta =\operatorname {artanh} (v/c),}

wobei

• ${\displaystyle v}${\displaystyle v} die Geschwindigkeit und
• ${\displaystyle c}${\displaystyle c} die Lichtgeschwindigkeit
• ${\displaystyle \operatorname {artanh} }${\displaystyle \operatorname {artanh} } die Areatangens-hyperbolicus-Funktion ist.

Die Rapidität misst die Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit, die ein beschleunigter Körper ohne relativistische Effekte hätte. Die Rapidität ist daher unbeschränkt (Wertebereich ${\displaystyle \theta =(-\infty ,+\infty )}${\displaystyle \theta =(-\infty ,+\infty )}), was eine natürlichere Betrachtungsweise darstellt als die Beschränkung der tatsächlichen Geschwindigkeit, die niemals die Lichtgeschwindigkeit überschreiten kann (Wertebereich ${\displaystyle v=(-c,+c)}${\displaystyle v=(-c,+c)}).

Außerdem hat die Rapidität den Vorteil, dass zwei Rapiditäten einfach addiert werden können, während man bei Geschwindigkeiten das relativistische Additionstheorem verwenden muss.^[1]

Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten nähert sich die Rapidität dem Wert von ${\displaystyle {\frac {v}{c}}}${\displaystyle {\frac {v}{c}}} an:

${\displaystyle v\ll c\Leftrightarrow v/c\ll 1\Rightarrow \theta \approx v/c.}${\displaystyle v\ll c\Leftrightarrow v/c\ll 1\Rightarrow \theta \approx v/c.}

Anstelle der exakten Formel

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+cp}{E-cp}}\right)}${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+cp}{E-cp}}\right)}

mit

• ${\displaystyle \beta =v/c}${\displaystyle \beta =v/c}
• Energie ${\displaystyle E}${\displaystyle E}
• Impuls ${\displaystyle p=|{\vec {p}}|}${\displaystyle p=|{\vec {p}}|}

wird in der experimentellen Teilchenphysik oft eine relativ zur Strahlachse definierte Rapidität gemäß

${\displaystyle \theta _{\text{Beamline}}={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+cp_{L}}{E-cp_{L}}}\right)}${\displaystyle \theta _{\text{Beamline}}={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+cp_{L}}{E-cp_{L}}}\right)}

verwendet, worin der Longitudinalimpuls ${\displaystyle p_{L}}${\displaystyle p_{L}} die Impulskomponente entlang der Strahlachse ist.

Die verwandte Größe der Pseudorapidität ist definiert als^[2]

${\displaystyle \eta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {p+p_{L}}{p-p_{L}}}\right).}${\displaystyle \eta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {p+p_{L}}{p-p_{L}}}\right).}

1. ↑ Theoretische Physik, Seite 327 von Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf, Springer-Verlag, 2014, abgerufen am 19. Februar 2016.
2. ↑ Theoretische Physik, Seite 372 von Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf, Springer-Verlag, 2014, abgerufen am 19. Februar 2016.

• Spezielle Relativitätstheorie
• Dimensionslose Größe