Pseudorapidität

Die Pseudorapidität ${\displaystyle \eta }${\displaystyle \eta } (eta) ist eine räumliche Koordinate, die in der experimentellen Teilchenphysik verwendet wird, um den Winkel eines Vektors relativ zur Strahlachse anzugeben. Sie wird gegenüber der Angabe des Polarwinkels ${\displaystyle \theta }${\displaystyle \theta } bevorzugt, weil bei Hadron-Hadron-Kollisionen der Fluss der erzeugten Teilchen pro Pseudorapiditäts-Intervall etwa konstant ist.

Die Pseudorapidität ist definiert als

${\displaystyle \eta =-\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right].}${\displaystyle \eta =-\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right].}

Für ein Teilchen mit Impuls ${\displaystyle {\vec {p}}}${\displaystyle {\vec {p}}} (und ${\displaystyle \left|{\vec {p}}\right|=p}${\displaystyle \left|{\vec {p}}\right|=p}) lässt sich dies umschreiben in:

${\displaystyle \eta =\operatorname {artanh} (p_{L}/p)={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {p+p_{L}}{p-p_{L}}}\right),}${\displaystyle \eta =\operatorname {artanh} (p_{L}/p)={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {p+p_{L}}{p-p_{L}}}\right),}

worin

• ${\displaystyle \operatorname {artanh} }${\displaystyle \operatorname {artanh} } die Areatangens-hyperbolicus-Funktion ist und
• der Longitudinalimpuls ${\displaystyle p_{L}}${\displaystyle p_{L}} die Impulskomponente entlang der Strahlachse.

In der Hochenergienäherung, d. h. für ein Teilchen mit der Energie ${\displaystyle E}${\displaystyle E}, dessen Masse ${\displaystyle m}${\displaystyle m} gegenüber seinem Impuls ${\displaystyle p}${\displaystyle p} vernachlässigbar ist, ${\displaystyle m\ll p\Rightarrow E\approx p}${\displaystyle m\ll p\Rightarrow E\approx p}, ist die Pseudorapidität numerisch in etwa gleich der Rapidität

${\displaystyle \eta \approx y,}${\displaystyle \eta \approx y,}

die in der experimentellen Teilchenphysik definiert wird als

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+p_{L}}{E-p_{L}}}\right).}${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+p_{L}}{E-p_{L}}}\right).}

Zum Vergleich: die originale Rapidität gemäß der speziellen Relativitätstheorie ist

${\displaystyle \vartheta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+p}{E-p}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right),}${\displaystyle \vartheta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+p}{E-p}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right),}

worin ${\displaystyle \beta =v/c}${\displaystyle \beta =v/c} das Verhältnis der Teilchengeschwindigkeit ${\displaystyle v}${\displaystyle v} zur Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}${\displaystyle c} ist.

Die Form des differentiellen Wirkungsquerschnitts ${\displaystyle d\sigma /dy}${\displaystyle d\sigma /dy} ist invariant unter einem Lorentz-Boost. Das Gleiche gilt in guter Näherung auch für die Pseudorapidität, nur ist diese leichter zu messen: Nicht die Masse des Teilchens muss ermittelt werden, sondern lediglich seine Flugrichtung durch den Detektor.

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