Q-Differenz

Die q-Differenz ist das q-Analogon der Ableitung. Der Begriff taucht in der Kombinatorik, der Theorie der orthogonalen Polynome und dem Quanten-Kalkül auf.

Der q-Differenz-Operator ist das diskrete Analogon zur gewöhnlichen Ableitung und definiert als^[1]

${\displaystyle (D_{q}f)(x)={\frac {f(x)-f(qx)}{(1-q)x}}}${\displaystyle (D_{q}f)(x)={\frac {f(x)-f(qx)}{(1-q)x}}}.

Es gilt somit

${\displaystyle \lim \limits _{q\to 1^{-}}(D_{q}f)(x)=f'(x)}${\displaystyle \lim \limits _{q\to 1^{-}}(D_{q}f)(x)=f'(x)}

und

${\displaystyle D_{q}x^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}x^{n-1}=[n]_{q}x^{n-1}}${\displaystyle D_{q}x^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}x^{n-1}=[n]_{q}x^{n-1}}

wobei ${\displaystyle [n]_{q}}${\displaystyle [n]_{q}} das q-Analogon von ${\displaystyle n}${\displaystyle n} ist.

Das q-Integral ist definiert als

${\displaystyle \int _{0}^{a}f(x)\mathrm {d} _{q}x:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left[aq^{n}-aq^{n+1}\right]f(aq^{n})}${\displaystyle \int _{0}^{a}f(x)\mathrm {d} _{q}x:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left[aq^{n}-aq^{n+1}\right]f(aq^{n})}

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} _{q}x:=\int _{0}^{b}f(x)\mathrm {d} _{q}x-\int _{0}^{a}f(x)\mathrm {d} _{q}x.}${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} _{q}x:=\int _{0}^{b}f(x)\mathrm {d} _{q}x-\int _{0}^{a}f(x)\mathrm {d} _{q}x.}

1. ↑ Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2. 

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