Q-Analogon

Ein ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Analogon (Pl. ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Analoga) ist ein mathematischer Begriff, welcher insbesondere in der Kombinatorik auftritt. Ein ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Analogon verallgemeinert dabei eine mathematische Aussage mit Hilfe eines zusätzlichen Parameters ${\displaystyle q}${\displaystyle q}, so dass man im Fall ${\displaystyle q\to 1}${\displaystyle q\to 1} wieder die ursprüngliche Aussage erhält. Der Begriff spielt auch eine wichtige Rolle in der Theorie der speziellen Funktionen insbesondere in der Theorie der ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Polynome.

Eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}${\displaystyle n} besitzt das ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Analogon

${\displaystyle [n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1},}${\displaystyle [n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1},}

da ${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n}${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n}.

Die ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Fakultät ist für ${\displaystyle n>0}${\displaystyle n>0}^[1]

${\displaystyle [n]_{q}!:=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [1]_{q}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {1-q^{k}}{1-q}},}${\displaystyle [n]_{q}!:=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [1]_{q}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {1-q^{k}}{1-q}},}

und ${\displaystyle [0]_{q}!:=1}${\displaystyle [0]_{q}!:=1}.

Durch ausmultiplizieren erhält man

${\displaystyle [n]_{q}!=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).}${\displaystyle [n]_{q}!=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).}

Das ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Pochhammer-Symbol, auch ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Shiftfakultät genannt, ist

${\displaystyle (a;q)_{n}:=\prod \limits _{k=1}^{n}(1-aq^{k-1})}${\displaystyle (a;q)_{n}:=\prod \limits _{k=1}^{n}(1-aq^{k-1})}

oder allgemeiner

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}:=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}:=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}

Der ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Binomialkoeffizient ist

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[k]_{q}![n-k]_{q}!}}=\prod \limits _{j=1}^{k}{\frac {(1-q^{n-j+1})}{(1-q^{j})}}.}${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[k]_{q}![n-k]_{q}!}}=\prod \limits _{j=1}^{k}{\frac {(1-q^{n-j+1})}{(1-q^{j})}}.}

Es gilt

${\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}}${\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}}

und

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}.}${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}.}

Das ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Analogon der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ist die ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-hypergeometrische Funktion^[1]

${\displaystyle \;_{r}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{r}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{s}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s};q)_{n}}}z^{n}\left(-q^{(n-1)/2}\right)^{n(s+1-r)}.}${\displaystyle \;_{r}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{r}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{s}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s};q)_{n}}}z^{n}\left(-q^{(n-1)/2}\right)^{n(s+1-r)}.}

Die stetigen ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Hermitischen Polynome ${\displaystyle \{H_{n}(x\mid q)\}}${\displaystyle \{H_{n}(x\mid q)\}} sind durch folgende Rekursion gegeben^[2]

${\displaystyle 2xH_{n}(x\mid q)=H_{n+1}(x\mid q)+(1-q^{n})H_{n-1}(x\mid q)}${\displaystyle 2xH_{n}(x\mid q)=H_{n+1}(x\mid q)+(1-q^{n})H_{n-1}(x\mid q)}

mit Anfangswerten

${\displaystyle H_{0}(x\mid q)=1,H_{1}(x\mid q)=2x.}${\displaystyle H_{0}(x\mid q)=1,H_{1}(x\mid q)=2x.}

Das ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Analogon der Exponentialfunktion ist

${\displaystyle e_{q}^{x}:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}${\displaystyle e_{q}^{x}:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}

Das ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Analogon der Ableitung einer Funktion ${\displaystyle f}${\displaystyle f} ist die Q-Differenz

${\displaystyle (D_{q}f)(x)={\frac {f(x)-f(qx)}{(1-q)x}},}${\displaystyle (D_{q}f)(x)={\frac {f(x)-f(qx)}{(1-q)x}},}

dadurch entsteht das sogenannte ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Kalkül.

Das ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Analogon von ${\displaystyle (x-a)^{n}}${\displaystyle (x-a)^{n}} ist

${\displaystyle (x-a)_{q}^{n}:=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(x-q^{k}a),}${\displaystyle (x-a)_{q}^{n}:=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(x-q^{k}a),}

zusammen mit der ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Differenz und der ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Fakultät lässt sich nun ein ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Analogon zur Taylorreihe für ${\displaystyle f}${\displaystyle f} herleiten

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {D_{q}^{n}f(a)(x-a)_{q}^{n}}{[n]_{q}!}}.}${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {D_{q}^{n}f(a)(x-a)_{q}^{n}}{[n]_{q}!}}.}

• Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, doi:10.1017/CBO9781107325982 . 

1. ↑ ^{a b} Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, S. 299, doi:10.1017/CBO9781107325982 . 
2. ↑ Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, S. 319, doi:10.1017/CBO9781107325982 . 

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Kategorie:

• Kombinatorik