Pochhammer-Symbol

Das Pochhammer-Symbol ist eine spezielle Funktion, die in der Kombinatorik und in der Theorie der hypergeometrischen Funktionen verwendet wird. Der Name geht auf Leo August Pochhammer zurück.^{[1] [2]}

Die Verallgemeinerung des Pochhammer-Symbols nennt man verallgemeinertes Pochhammer-Symbol.

Das Pochhammer-Symbol wird über die Gammafunktion definiert:

${\displaystyle (x,n)\equiv {\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}${\displaystyle (x,n)\equiv {\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}

Aus der Funktionalgleichung der Gammafunktion folgt dann

${\displaystyle (x,n)\equiv x(x+1)\dotsm (x+n-1)}${\displaystyle (x,n)\equiv x(x+1)\dotsm (x+n-1)}.

Man hat also eine Identität

${\displaystyle (x,n)=x^{\overline {n}}}${\displaystyle (x,n)=x^{\overline {n}}}

mit der steigenden Faktoriellen.

Das Pochhammer-Symbol wird auch als ${\displaystyle (x)_{n}}${\displaystyle (x)_{n}} notiert, allerdings notieren manche Autoren insbesondere in der Kombinatorik damit auch die fallende Faktorielle. In dieser Notation definiert man dann zusätzlich

${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{r})_{n}:=\prod \limits _{i=1}^{r}(x_{i})_{n}.}${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{r})_{n}:=\prod \limits _{i=1}^{r}(x_{i})_{n}.}

• Das Pochhammer-Symbol ist eine meromorphe Funktion.
• Ist ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }${\displaystyle n\in \mathbb {N} }, so kann ${\displaystyle (x,n)}${\displaystyle (x,n)} als Polynom in ${\displaystyle x}${\displaystyle x} dargestellt werden. Diese haben eine gemeinsame Nullstelle bei ${\displaystyle x=0}${\displaystyle x=0}.
• Zusammenhang zwischen Koeffizienten verschiedener Vorzeichen:

${\displaystyle (x,-n)=(-1)^{n}{\frac {1}{(1-x,n)}}}${\displaystyle (x,-n)=(-1)^{n}{\frac {1}{(1-x,n)}}}

• Divisionsregel:
  • ${\displaystyle {\frac {(x,n)}{(x,m)}}=(x+m,n-m);\quad n>m}${\displaystyle {\frac {(x,n)}{(x,m)}}=(x+m,n-m);\quad n>m}
  • ${\displaystyle {\frac {(x,n)}{(x,m)}}={\frac {1}{(x+m,m-n)}};\quad m>n}${\displaystyle {\frac {(x,n)}{(x,m)}}={\frac {1}{(x+m,m-n)}};\quad m>n}
• Spezielle Werte:
  • ${\displaystyle (1,n)=n!}${\displaystyle (1,n)=n!}
  • ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},n)=2^{-n}(2n-1)!!}${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},n)=2^{-n}(2n-1)!!}
  • ${\displaystyle (0,0)=1}${\displaystyle (0,0)=1}
• Weitere Identitäten:
  • ${\displaystyle (x,N-k)={\frac {(x,N)(-1)^{k}}{(-x-N+1,k)}}}${\displaystyle (x,N-k)={\frac {(x,N)(-1)^{k}}{(-x-N+1,k)}}}
  • ${\displaystyle (x,m)(x+m,n)=(x,m+n)}${\displaystyle (x,m)(x+m,n)=(x,m+n)}

Das ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Pochhammer-Symbol^[3] ist das ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Analog des Pochhammer-Symbols. Dieses spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Modulfunktionen und in der Kombinatorik bei ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Analoga klassischer Formeln. Hierbei wird das ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Analogon natürlicher Zahlen, angeregt durch den Grenzübergang

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n},

über folgende Formel definiert:

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n-1}}${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n-1}}

Das ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Pochhammer-Symbol wird über die formale Potenzreihe in der Variablen ${\displaystyle q}${\displaystyle q} definiert:

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\dotsm (1-aq^{n-1})}${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\dotsm (1-aq^{n-1})}

mit der Zusatzbedingung:

${\displaystyle (a;q)_{0}=1}${\displaystyle (a;q)_{0}=1}.

Sie werden auch ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Reihen genannt und ${\displaystyle (a;q)_{n}}${\displaystyle (a;q)_{n}} als ${\displaystyle (a)_{n}}${\displaystyle (a)_{n}} abgekürzt, z. B. ${\displaystyle (q;q)_{n}=(q)_{n}=\prod _{k=1}^{n}(1-q^{k})=(1-q)(1-q^{2})\dotsm (1-q^{n})}${\displaystyle (q;q)_{n}=(q)_{n}=\prod _{k=1}^{n}(1-q^{k})=(1-q)(1-q^{2})\dotsm (1-q^{n})}.

Der Buchstabe q wird deswegen in den Formeln verwendet, weil er das elliptische Nomen beziehungsweise die Jacobische Entwicklungsgröße darstellt.

Das ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Pochhammer-Symbol lässt sich auch zu einem unendlichen Produkt erweitern:

${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})}${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})}

Der Spezialfall

${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}

wird als Eulersches Produkt^[4] bezeichnet.

Das elliptische Nomen als Funktion stellt den Zusammenhang zu den vollständigen elliptischen Integralen erster Art her:

${\displaystyle [q(\varepsilon );q(\varepsilon )]_{\infty }=2^{1/3}|\varepsilon |^{1/12}(1-\varepsilon ^{2})^{1/6}q(\varepsilon )^{-1/24}\pi ^{-1/2}K(\varepsilon )^{1/2}}${\displaystyle [q(\varepsilon );q(\varepsilon )]_{\infty }=2^{1/3}|\varepsilon |^{1/12}(1-\varepsilon ^{2})^{1/6}q(\varepsilon )^{-1/24}\pi ^{-1/2}K(\varepsilon )^{1/2}}

${\displaystyle [q(\varepsilon )^{2};q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }=|\sin[2\arcsin(\varepsilon )]|^{1/6}q(\varepsilon )^{-1/12}\pi ^{-1/2}K(\varepsilon )^{1/2}}${\displaystyle [q(\varepsilon )^{2};q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }=|\sin[2\arcsin(\varepsilon )]|^{1/6}q(\varepsilon )^{-1/12}\pi ^{-1/2}K(\varepsilon )^{1/2}}

${\displaystyle [q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }=2^{1/4}|\cot[2\arctan(\varepsilon )]|^{1/12}q(\varepsilon )^{1/24}}${\displaystyle [q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }=2^{1/4}|\cot[2\arctan(\varepsilon )]|^{1/12}q(\varepsilon )^{1/24}}

${\displaystyle q(\varepsilon )=\exp[-\pi K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )^{-1}]}${\displaystyle q(\varepsilon )=\exp[-\pi K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )^{-1}]}

${\displaystyle K(w)=\int _{0}^{\pi /2}[1-w^{2}\sin(\alpha )^{2}]^{-1/2},円\mathrm {d} \alpha }${\displaystyle K(w)=\int _{0}^{\pi /2}[1-w^{2}\sin(\alpha )^{2}]^{-1/2},円\mathrm {d} \alpha }

Das Eulersche Pochhammer-Produkt spielt in der Theorie der Partitionsfunktion eine entscheidende Rolle.

Denn die Maclaurinsche Reihe für den Kehrwert des Eulerschen Produkts trägt die Partitionszahlen^[5] als Koeffizienten:

${\displaystyle (x;x)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}}${\displaystyle (x;x)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}}

Dabei steht P(n) für die n-te Partitionszahl.

Die Maclaurinsche Reihe für das Eulersche Produkt selbst hat an allen Summanden die Fünfeckszahlen und Kartenhauszahlen als Exponenten:

${\displaystyle (x;x)_{\infty }=\sum _{k=0}^{\infty }{\bigl [}x^{K(2k)}-x^{F(2k+1)}-x^{K(2k+1)}+x^{F(2k+2)}{\bigr ]}}${\displaystyle (x;x)_{\infty }=\sum _{k=0}^{\infty }{\bigl [}x^{K(2k)}-x^{F(2k+1)}-x^{K(2k+1)}+x^{F(2k+2)}{\bigr ]}}

Dabei steht F(n) für die n-te Fünfeckszahl und K(n) für die n-te Kartenhauszahl:

${\displaystyle F(n)={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)}${\displaystyle F(n)={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)}

${\displaystyle K(n)={\tfrac {1}{2}}n(3n+1)}${\displaystyle K(n)={\tfrac {1}{2}}n(3n+1)}

Diese Tatsache^[6] basiert auf dem Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler.

Das Eulersche Produkt^[7] kann auch mit der Jacobischen Thetafunktion und der Ramanujanschen Psifunktion ausgedrückt werden:

${\displaystyle (x;x)_{\infty }=\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16,円x}}{\biggr ]}^{1/24}={\sqrt[{6}]{\psi _{R}(x^{2})\vartheta _{00}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}}}${\displaystyle (x;x)_{\infty }=\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16,円x}}{\biggr ]}^{1/24}={\sqrt[{6}]{\psi _{R}(x^{2})\vartheta _{00}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}}}

Speziell für positive x-Werte gilt außerdem:

${\displaystyle (x;x)_{\infty }=3^{-1/2}x^{-1/24}\vartheta _{10}({\tfrac {1}{6}}\pi ;x^{1/6})=2^{-1/6}x^{-1/24}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}}${\displaystyle (x;x)_{\infty }=3^{-1/2}x^{-1/24}\vartheta _{10}({\tfrac {1}{6}}\pi ;x^{1/6})=2^{-1/6}x^{-1/24}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}}

Der Mathematiker Srinivasa Ramanujan entdeckte folgende Beziehung^[8] zu den Thetafunktionen:

${\displaystyle (x;x^{2})_{\infty }={\sqrt[{6}]{\psi _{R}(x^{2})^{-1}\vartheta _{00}(x)^{-1}\vartheta _{01}(x)^{2}}}=2^{1/6}x^{1/24}\vartheta _{10}(x)^{-1/6}\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{1/3}}${\displaystyle (x;x^{2})_{\infty }={\sqrt[{6}]{\psi _{R}(x^{2})^{-1}\vartheta _{00}(x)^{-1}\vartheta _{01}(x)^{2}}}=2^{1/6}x^{1/24}\vartheta _{10}(x)^{-1/6}\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{1/3}}

Sie finden sich in seinem Aufsatz Modular Equations and Approximations to π. Aus den beiden zuletzt genannten Formeln folgt:

${\displaystyle (x;x)_{\infty }(x;x^{2})_{\infty }=\vartheta _{01}(x)}${\displaystyle (x;x)_{\infty }(x;x^{2})_{\infty }=\vartheta _{01}(x)}

Für die Thetafunktionen dienen diese Formeln zur Definition:

${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1-2\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}x^{\Box (2n-1)}-x^{\Box (2n)}{\bigr ]}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}}${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1-2\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}x^{\Box (2n-1)}-x^{\Box (2n)}{\bigr ]}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}}

${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}}${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}}

${\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}}${\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}}

Die Ramanujansche Ψ-Funktion ${\displaystyle \psi _{R}(x)}${\displaystyle \psi _{R}(x)} ist über jene Formel definiert:

${\displaystyle \psi _{R}(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }x^{\bigtriangleup (n)}}${\displaystyle \psi _{R}(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }x^{\bigtriangleup (n)}}

Mit dem Pochhammer-Symbol kann auch die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion R(x) dargestellt werden:

${\displaystyle R(x)=x^{1/5}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2\bigtriangleup (n)}}{(x;x)_{n}}}{\biggr ]}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{\Box (n)}}{(x;x)_{n}}}{\biggr ]}^{-1}=x^{1/5}{\frac {(x;x^{5})_{\infty }(x^{4};x^{5})_{\infty }}{(x^{2};x^{5})_{\infty }(x^{3};x^{5})_{\infty }}}=}${\displaystyle R(x)=x^{1/5}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2\bigtriangleup (n)}}{(x;x)_{n}}}{\biggr ]}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{\Box (n)}}{(x;x)_{n}}}{\biggr ]}^{-1}=x^{1/5}{\frac {(x;x^{5})_{\infty }(x^{4};x^{5})_{\infty }}{(x^{2};x^{5})_{\infty }(x^{3};x^{5})_{\infty }}}=}

${\displaystyle =\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/5})[5,円\vartheta _{01}(x^{5})^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}]}{2,円\vartheta _{01}(x^{5})[\vartheta _{01}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x^{1/5})^{2}]}}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }=}${\displaystyle =\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/5})[5,円\vartheta _{01}(x^{5})^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}]}{2,円\vartheta _{01}(x^{5})[\vartheta _{01}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x^{1/5})^{2}]}}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }=}

${\displaystyle =\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/10})\vartheta _{01}(x^{1/10})\vartheta _{10}(x^{1/10})}{\vartheta _{00}(x^{5/2})\vartheta _{01}(x^{5/2})\vartheta _{10}(x^{5/2})}}{\biggr ]}^{1/3}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }=}${\displaystyle =\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/10})\vartheta _{01}(x^{1/10})\vartheta _{10}(x^{1/10})}{\vartheta _{00}(x^{5/2})\vartheta _{01}(x^{5/2})\vartheta _{10}(x^{5/2})}}{\biggr ]}^{1/3}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }=}

${\displaystyle =\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}=}${\displaystyle =\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}=}

${\displaystyle =\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}${\displaystyle =\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/2})^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5/2})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}}

In der ersten Zeile der Gleichungskette werden die Rogers-Ramanujan-Identitäten repräsentiert.

Dabei wurden für eine kompaktere Darstellung die Abkürzungen verwendet:

${\displaystyle \bigtriangleup (n)={\tfrac {1}{2}}n(n+1)}${\displaystyle \bigtriangleup (n)={\tfrac {1}{2}}n(n+1)}

${\displaystyle \Box ,円(n)=n^{2}}${\displaystyle \Box ,円(n)=n^{2}}

1. ↑ L. Pochhammer: Ueber die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 102, S. 76–159, 1888; insbesondere S. 80–81. Pochhammer benutzt die Bezeichnung ${\displaystyle (x)_{n}}${\displaystyle (x)_{n}} für den Binomialkoeffizienten, ${\displaystyle [x]_{n}}${\displaystyle [x]_{n}} für die fallende Faktorielle und ${\displaystyle [x]_{n}^{+}}${\displaystyle [x]_{n}^{+}} für die steigende Faktorielle.
2. ↑ Eric W. Weisstein: Pochhammer Symbol. In: MathWorld. Abgerufen am 9. Februar 2019 (englisch). 
3. ↑ Eric W. Weisstein: q-Pochhammer Symbol. In: MathWorld. Abgerufen am 9. Februar 2019 (englisch). 
4. ↑ Eulersches Partitionsprodukt. Im Englischen auch Euler function, doch ist dieser Begriff mehrdeutig.
5. ↑ 3.3 Partitions of Integers. Abgerufen am 30. August 2021. 
6. ↑ Eric W. Weisstein: Pentagonal Number Theorem. Abgerufen am 30. August 2021 (englisch). 
7. ↑ Eric W. Weisstein: q-Pochhammer Symbol. Abgerufen am 30. August 2021 (englisch). 
8. ↑ Eric W. Weisstein: Ramanujan g- and G-Functions. Abgerufen am 30. August 2021 (englisch). 

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