Fünfeckszahl

Eine Fünfeckszahl oder Pentagonalzahl ist eine Zahl, die das Konzept der Dreiecks- und Quadratzahlen auf das regelmäßige Fünfeck erweitert. Allerdings ist das dabei entstehende Muster weit weniger symmetrisch als das der Dreiecks- und Quadratzahlen. Die ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-te Fünfeckszahl entspricht der Anzahl der Kugeln, die man zum Legen eines Musters mit ${\displaystyle n}${\displaystyle n} regelmäßigen Fünfecken benötigt, die eine gemeinsame Ecke haben.

Für eine figural gleichmäßige Bedeckung siehe →Zentrierte Fünfeckszahl.

Die ersten (nicht zentrierten) Fünfeckszahlen sind

0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ... (Folge A000326 in OEIS)

Bei einigen Autoren ist die Null keine Fünfeckszahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-te Fünfeckszahl lässt sich mit der Formel

${\displaystyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}${\displaystyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}

berechnen.

Die wichtigste Aussage über Fünfeckszahlen ist der Pentagonalzahlensatz.

Setzt man für ${\displaystyle n}${\displaystyle n} eine negative ganze Zahl ein, so bekommt man Fünfeckszahlen zweiter Art oder auch Kartenhauszahlen. Kartenhauszahlen deswegen, weil die Zahlen angeben, wie viele Karten benötigt werden, um ein Kartenhaus mit ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Etagen zu bauen.

${\displaystyle {\frac {n(3n-1)}{2}}={\frac {m(3m+1)}{2}}}${\displaystyle {\frac {n(3n-1)}{2}}={\frac {m(3m+1)}{2}}} für ${\displaystyle m=-1\cdot n}${\displaystyle m=-1\cdot n} und ${\displaystyle n\leq 0}${\displaystyle n\leq 0}

Die Folge der Kartenhauszahlen beginnt: ${\displaystyle 0,2,7,15,26,40,57,\dots }${\displaystyle 0,2,7,15,26,40,57,\dots } (Folge A005449 in OEIS)

Die Kartenhauszahlen lassen sich als Summe von Dreieckszahlen erzeugen:

${\displaystyle 2\cdot {\frac {m(m+1)}{2}}+{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m(3m+1)}{2}}}${\displaystyle 2\cdot {\frac {m(m+1)}{2}}+{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m(3m+1)}{2}}}

• Kartenhauszahlen

• Figurierte Zahl