Nagel-Punkt

Der Nagel-Punkt, benannt nach dem deutschen Mathematiker Christian Heinrich von Nagel (1803–1882), der 1835/36 die Existenz dieses Punktes aufzeigte, gehört zu den besonderen Punkten eines Dreiecks. Für ein gegebenes Dreieck ABC betrachtet man die Punkte D, E und F, in denen die Ankreise die Seiten des Dreiecks berühren. Verbindet man diese Berührpunkte mit den gegenüber liegenden Ecken des Dreiecks (also mit A, B bzw. C), so schneiden sich diese Verbindungsstrecken in einem Punkt N. Dieser wird als Nagel-Punkt des Dreiecks bezeichnet.^[1]

• Betrachtet man außer dem Nagel-Punkt N des Dreiecks ABC auch den Inkreismittelpunkt I und den Schwerpunkt S, dann liegen die Punkte N, S und I auf einer Geraden, der Nagel-Geraden, und es gilt ${\displaystyle {\overline {NS}}:{\overline {SI}}=2:1}${\displaystyle {\overline {NS}}:{\overline {SI}}=2:1}, wobei der Schwerpunkt S zwischen den Punkten N und I liegt.^[2] In dieser Eigenschaft weist die Nagel-Gerade eine Analogie zur eulerschen Geraden auf.
• Der Spieker-Punkt ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von Nagel-Punkt und Inkreismittelpunkt und liegt somit ebenfalls auf der Nagel-Geraden.^[2]
• Der Nagelpunkt und der Gergonne-Punkt sind isotomisch konjugiert.^[3]

Die trilinearen Koordinaten des Nagel-Punkts (${\displaystyle X_{8}}${\displaystyle X_{8}}) sind (gleichwertig)

${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}},円:,円{\frac {c+a-b}{b}},円:,円{\frac {a+b-c}{c}}}${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}},円:,円{\frac {c+a-b}{b}},円:,円{\frac {a+b-c}{c}}} oder

${\displaystyle \csc ^{2}{\frac {\alpha }{2}}:\csc ^{2}{\frac {\beta }{2}}:\csc ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}${\displaystyle \csc ^{2}{\frac {\alpha }{2}}:\csc ^{2}{\frac {\beta }{2}}:\csc ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}.^[3]

Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)

${\displaystyle (b+c-a),円:,円(c+a-b),円:,円(a+b-c)}${\displaystyle (b+c-a),円:,円(c+a-b),円:,円(a+b-c)} oder

${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}:\cot {\frac {\beta }{2}}:\cot {\frac {\gamma }{2}}}${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}:\cot {\frac {\beta }{2}}:\cot {\frac {\gamma }{2}}}.^[3]

Dabei sind ${\displaystyle a,b,c}${\displaystyle a,b,c} die Seitenlängen des Dreiecks und ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } die Größen der Innenwinkel.

• Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv 71, 1987, 2, S. 230–233
• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 225–229 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
• Edwin Kozniewski, Renata A. Gorska: Gergonne and Nagel Points for Simplices in the n-Dimensional Space. Journal for Geometry and Graphics, Band 4, 2000, Nr. 2, S. 119–127
• Victor Thébault: Nagel Point in the Tetrahedron. The American Mathematical Monthly, Band 54, Nr. 5 (Mai, 1947), S. 275–276 (JSTOR:2305352)

• Eric W. Weisstein. „Nagel Point." From MathWorld--A Wolfram Web Resource
• The Nagel and Gergonne Points
• Heinz Klemenz: Merkwürdiges im Dreieck

1. ↑ Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 180. 
2. ↑ ^{a b} Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 160–161. 
3. ↑ ^{a b c} Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(8). Abgerufen am 22. Januar 2025 (englisch). 

• Ausgezeichnete Punkte im Dreieck