Gergonne-Punkt

Der Gergonne-Punkt eines Dreiecks (benannt nach dem französischen Mathematiker Joseph Diez Gergonne) ist ein ausgezeichneter Punkt im Inneren eines Dreiecks. Er hat die Kimberling-Nummer ${\displaystyle X_{7}}${\displaystyle X_{7}}.

Der Inkreis eines Dreiecks ${\displaystyle ABC}${\displaystyle ABC} berühre die Seiten des Dreiecks in den Punkten ${\displaystyle X}${\displaystyle X}, ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} und ${\displaystyle Z}${\displaystyle Z}. Gergonne zeigte, dass sich die drei Verbindungsstrecken zwischen diesen Berührungspunkten und der jeweils gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks in einem Punkt, dem Gergonne-Punkt ${\displaystyle G}${\displaystyle G}, schneiden.^[1] Das Dreieck ${\displaystyle XYZ}${\displaystyle XYZ} wird als Gergonne-Dreieck bezeichnet.

Dass sich diese drei Strecken in einem Punkt schneiden, folgt aus der Gleichheit von Tangentenabschnitten (${\displaystyle {\overline {AZ}}={\overline {AY}}}${\displaystyle {\overline {AZ}}={\overline {AY}}}, ${\displaystyle {\overline {BX}}={\overline {BZ}}}${\displaystyle {\overline {BX}}={\overline {BZ}}}, ${\displaystyle {\overline {CY}}={\overline {CX}}}${\displaystyle {\overline {CY}}={\overline {CX}}}) und dem Satz von Ceva.

• Der Gergonne-Punkt liegt mit dem Schwerpunkt und dem Mittenpunkt (in dieser Reihenfolge) auf einer Geraden.^[1] Dabei gilt ${\displaystyle {\overline {GS}}:{\overline {SM}}=2:1}${\displaystyle {\overline {GS}}:{\overline {SM}}=2:1}.^[2]
• Gergonne-Punkt und Nagel-Punkt sind isotomisch konjugiert.^[3]

Die trilinearen Koordinaten des Gergonne-Punkts (${\displaystyle X_{7}}${\displaystyle X_{7}}) sind (gleichwertig)

${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}},円:,円{\frac {ca}{c+a-b}},円:,円{\frac {ab}{a+b-c}}}${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}},円:,円{\frac {ca}{c+a-b}},円:,円{\frac {ab}{a+b-c}}} oder

${\displaystyle \sec ^{2}{\frac {\alpha }{2}},円:,円\sec ^{2}{\frac {\beta }{2}},円:,円\sec ^{2}{\frac {\gamma }{2}}.}${\displaystyle \sec ^{2}{\frac {\alpha }{2}},円:,円\sec ^{2}{\frac {\beta }{2}},円:,円\sec ^{2}{\frac {\gamma }{2}}.}^[3]

Die baryzentrischen Koordinaten sind (gleichwertig)

${\displaystyle {\frac {1}{b+c-a}},円:,円{\frac {1}{c+a-b}},円:,円{\frac {1}{a+b-c}}}${\displaystyle {\frac {1}{b+c-a}},円:,円{\frac {1}{c+a-b}},円:,円{\frac {1}{a+b-c}}} oder

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}:\tan {\frac {\beta }{2}}:\tan {\frac {\gamma }{2}}.}${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}:\tan {\frac {\beta }{2}}:\tan {\frac {\gamma }{2}}.}^[3]

Dabei sind ${\displaystyle a,b,c}${\displaystyle a,b,c} die Seitenlängen des Dreiecks und ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } die Größen der Innenwinkel.

• Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv, 71, 1987, 2, S. 230–233.
• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 978-3-662-53034-4, S. 78.

• Eric W. Weisstein: Gergonne Point. In: MathWorld (englisch).
• Gergonne-Punkt – Visualisierung mit GeoGebra.

1. ↑ ^{a b} Wolfgang Grundmann: Dreieckgeometrie. AVM, München 2010, ISBN 978-3-89975-808-5, S. 82. 
2. ↑ Eric W. Weisstein: Gergonne Point. In: MathWorld (englisch).
3. ↑ ^{a b c} Clark Kimberling: Enyclopedia of Triangle Centers, X(7). Abgerufen am 21. Januar 2025. 

• Ausgezeichnete Punkte im Dreieck