Mittlere Krümmung

Die mittlere Krümmung ist neben der gaußschen Krümmung ein wichtiger Krümmungsbegriff in der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, einem Gebiet der Differentialgeometrie.

Gegeben seien eine reguläre Fläche im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} und ein Punkt dieser Fläche. Die mittlere Krümmung ${\displaystyle H}${\displaystyle H} der Fläche in diesem Punkt ist das arithmetische Mittel der beiden Hauptkrümmungen ${\displaystyle k_{1}}${\displaystyle k_{1}} und ${\displaystyle k_{2}}${\displaystyle k_{2}}. Das heißt, die mittlere Krümmung ist definiert als

${\displaystyle H:={\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2}).}${\displaystyle H:={\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2}).}

Von besonderem Interesse sind sogenannte Minimalflächen, für welche ${\displaystyle H=0}${\displaystyle H=0} bzw. ${\displaystyle k_{1}=-k_{2}}${\displaystyle k_{1}=-k_{2}} gilt.

Allgemeiner kann man die mittlere Krümmung für n-dimensionale Hyperflächen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} durch ${\displaystyle H:={\tfrac {1}{n}}\operatorname {Spur} (S)}${\displaystyle H:={\tfrac {1}{n}}\operatorname {Spur} (S)} definieren. Dabei ist ${\displaystyle S}${\displaystyle S} die Weingarten-Abbildung und ${\displaystyle \operatorname {Spur} }${\displaystyle \operatorname {Spur} } bezeichnet die Spur einer Matrix.

• Sind ${\displaystyle E}${\displaystyle E}, ${\displaystyle F}${\displaystyle F}, ${\displaystyle G}${\displaystyle G} bzw. ${\displaystyle L}${\displaystyle L}, ${\displaystyle M}${\displaystyle M}, ${\displaystyle N}${\displaystyle N} die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform der Fläche, so gilt die Formel

${\displaystyle H={\frac {LG-2MF+NE}{2(EG-F^{2})}}}${\displaystyle H={\frac {LG-2MF+NE}{2(EG-F^{2})}}}

Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, das heißt, wenn für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform ${\displaystyle E=G}${\displaystyle E=G} und ${\displaystyle F=0}${\displaystyle F=0} gilt, dann vereinfacht sich diese Formel zu

${\displaystyle H={\frac {L+N}{2E}}.}${\displaystyle H={\frac {L+N}{2E}}.}

• Ist die betrachtete Fläche der Graph einer Funktion ${\displaystyle f}${\displaystyle f} über dem Parameterbereich ${\displaystyle U}${\displaystyle U}, also ${\displaystyle X(u,v)=(u,v,f(u,v))}${\displaystyle X(u,v)=(u,v,f(u,v))} für alle ${\displaystyle (u,v)\in U}${\displaystyle (u,v)\in U}, so gilt für die mittlere Krümmung:

${\displaystyle H={\frac {(1+f_{v}^{2})f_{uu}-2f_{u}f_{v}f_{uv}+(1+f_{u}^{2})f_{vv}}{2{\sqrt {1+f_{u}^{2}+f_{v}^{2}}}^{3}}}}${\displaystyle H={\frac {(1+f_{v}^{2})f_{uu}-2f_{u}f_{v}f_{uv}+(1+f_{u}^{2})f_{vv}}{2{\sqrt {1+f_{u}^{2}+f_{v}^{2}}}^{3}}}}.

Hierbei bezeichnen ${\displaystyle f_{u}}${\displaystyle f_{u}} und ${\displaystyle f_{v}}${\displaystyle f_{v}} die ersten und ${\displaystyle f_{uu}}${\displaystyle f_{uu}}, ${\displaystyle f_{uv}}${\displaystyle f_{uv}} und ${\displaystyle f_{vv}}${\displaystyle f_{vv}} die zweiten partiellen Ableitungen von ${\displaystyle f}${\displaystyle f}.

• Die Oberfläche einer Kugel mit Radius ${\displaystyle r}${\displaystyle r} hat die mittlere Krümmung ${\displaystyle H={\tfrac {1}{r}}}${\displaystyle H={\tfrac {1}{r}}}.

• In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders mit Radius ${\displaystyle r}${\displaystyle r} ist die mittlere Krümmung gleich ${\displaystyle H={\tfrac {1}{2r}}}${\displaystyle H={\tfrac {1}{2r}}}

• Für eine Fläche ${\displaystyle X=X(u,v)}${\displaystyle X=X(u,v)} gilt die Gleichung

${\displaystyle H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X,}${\displaystyle H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X,}

mit der Einheitsnormale ${\displaystyle {\vec {n}}}${\displaystyle {\vec {n}}}, ${\displaystyle g_{ij}}${\displaystyle g_{ij}} als erster Fundamentalform und ${\displaystyle \nabla _{i}}${\displaystyle \nabla _{i}} der kovarianten Ableitung.

• Wenn eine Fläche ${\displaystyle X=X(u,v)}${\displaystyle X=X(u,v)} isotherm parametrisiert ist, so genügt sie dem Rellichschen H-Flächensystem

${\displaystyle \Delta X=2HX_{u}\times X_{v}.}${\displaystyle \Delta X=2HX_{u}\times X_{v}.}

• Ist die Fläche als Niveaufläche einer Funktion ${\displaystyle F}${\displaystyle F} gegeben, so gilt

${\displaystyle 2H=-\operatorname {div} {\vec {n}}=-\operatorname {div} {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}.}${\displaystyle 2H=-\operatorname {div} {\vec {n}}=-\operatorname {div} {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}.}^[1]

Dabei ist ${\displaystyle \operatorname {div} }${\displaystyle \operatorname {div} } die Divergenz und ${\displaystyle {\vec {n}}}${\displaystyle {\vec {n}}} das Einheitsnormalenfeld ${\displaystyle {\tfrac {\nabla F}{|\nabla F|}}.}${\displaystyle {\tfrac {\nabla F}{|\nabla F|}}.} Diese Formel heißt Formel von Bonnet und gilt allgemein für n-dimensionale Hyperflächen.

• Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4., überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0411-2. 

1. ↑ Philipp D. Lösel: GPU-basierte Verfahren zur Segmentierung biomedizinischer Bilddaten. (PDF) Heidelberg University, 22. April 2022, S. 42–43, abgerufen am 5. September 2022.  Beweis zu Satz 3.22.

• Elementare Differentialgeometrie