Weingartenabbildung

Die Weingartenabbildung (nach dem deutschen Mathematiker Julius Weingarten), auch Formoperator genannt, ist eine Funktion aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum (${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}), einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie.

Eine reguläre Fläche sei durch die Parameterdarstellung

${\displaystyle {\begin{aligned}X\colon \mathbb {R} ^{2}\supset A&\to \mathbb {R} ^{3}\\(u,v)&\mapsto X(u,v)\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}X\colon \mathbb {R} ^{2}\supset A&\to \mathbb {R} ^{3}\\(u,v)&\mapsto X(u,v)\end{aligned}}}

gegeben. Dabei sei ${\displaystyle X}${\displaystyle X} mindestens zweimal stetig differenzierbar und in jedem Punkt ${\displaystyle (u,v)}${\displaystyle (u,v)} habe die Ableitung ${\displaystyle DX_{(u,v)}}${\displaystyle DX_{(u,v)}}, eine lineare Abbildung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} nach ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, vollen Rang. Das Bild dieser linearen Abbildung ist dann ein zweidimensionaler Unterraum des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, der Tangentialraum der Fläche im Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}${\displaystyle p=X(u,v)}. Dabei denkt man sich die Bildvektoren im Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}${\displaystyle p=X(u,v)} angeheftet. Der Tangentialraum wird von den beiden Vektoren

${\displaystyle X_{1}(u,v)=X_{u}(u,v)={\tfrac {\partial X}{\partial u}}(u,v)=DX_{(u,v)}(e_{1})}${\displaystyle X_{1}(u,v)=X_{u}(u,v)={\tfrac {\partial X}{\partial u}}(u,v)=DX_{(u,v)}(e_{1})} und

${\displaystyle X_{2}(u,v)=X_{v}(u,v)={\tfrac {\partial X}{\partial v}}(u,v)=DX_{(u,v)}(e_{2})}${\displaystyle X_{2}(u,v)=X_{v}(u,v)={\tfrac {\partial X}{\partial v}}(u,v)=DX_{(u,v)}(e_{2})}

aufgespannt. (Hierbei bezeichnen ${\displaystyle e_{1}}${\displaystyle e_{1}} und ${\displaystyle e_{2}}${\displaystyle e_{2}} die Einheitsvektoren der Standardbasis des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}.)

Die Einheitsnormale ${\displaystyle N(u,v)}${\displaystyle N(u,v)} im Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}${\displaystyle p=X(u,v)} der Fläche kann mit Hilfe des Vektorprodukts berechnet werden:

${\displaystyle N(u,v)={\frac {X_{u}(u,v)\times X_{v}(u,v)}{|X_{u}(u,v)\times X_{v}(u,v)|}}}${\displaystyle N(u,v)={\frac {X_{u}(u,v)\times X_{v}(u,v)}{|X_{u}(u,v)\times X_{v}(u,v)|}}}

Somit ist ${\displaystyle N}${\displaystyle N} eine differenzierbare Abbildung vom Parameterbereich ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}} in den Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Den Bildvektor ${\displaystyle N(u,v)}${\displaystyle N(u,v)} denkt man sich angeheftet an den Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}${\displaystyle p=X(u,v)}. Die Ableitung ${\displaystyle DN_{(u,v)}}${\displaystyle DN_{(u,v)}} im Punkt ${\displaystyle (u,v)}${\displaystyle (u,v)} ist eine lineare Abbildung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} nach ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Aus der Bedingung, dass ${\displaystyle N(u,v)}${\displaystyle N(u,v)} ein Einheitsvektor ist, folgt, dass für jedes Parameterpaar ${\displaystyle (u,v)}${\displaystyle (u,v)} das Bild der Abbildung ${\displaystyle DN_{(u,v)}}${\displaystyle DN_{(u,v)}} im Tangentialraum der Fläche im Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}${\displaystyle p=X(u,v)} liegt und somit im Bild der Abbildung ${\displaystyle DX_{(u,v)}}${\displaystyle DX_{(u,v)}}. Da ${\displaystyle DX_{(u,v)}}${\displaystyle DX_{(u,v)}} injektiv ist, existiert die Umkehrabbildung ${\displaystyle (DX_{(u,v)})^{-1}}${\displaystyle (DX_{(u,v)})^{-1}} als Abbildung auf dem Tangentialraum im Punkt ${\displaystyle X(u,v)}${\displaystyle X(u,v)}.

Man kann nun die Weingartenabbildung als lineare Abbildung im Parameterbereich (klassische Sichtweise) oder auf dem Tangentialraum (moderne Sichtweise) definieren.

Die Abbildung ${\displaystyle DN_{(u,v)}}${\displaystyle DN_{(u,v)}} bildet den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} auf den Tangentialraum der Fläche im Punkt ${\displaystyle X(u,v)}${\displaystyle X(u,v)} ab. Die Abbildung ${\displaystyle (DX_{(u,v)})^{-1}}${\displaystyle (DX_{(u,v)})^{-1}} bildet diesen Tangentialraum wieder auf den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

${\displaystyle L_{(u,v)}=-(DX_{(u,v)})^{-1}\circ DN_{(u,v)}}${\displaystyle L_{(u,v)}=-(DX_{(u,v)})^{-1}\circ DN_{(u,v)}}

von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} nach ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} heißt Weingartenabbildung an der Stelle ${\displaystyle (u,v)}${\displaystyle (u,v)}.

Die Abbildung ${\displaystyle (DX_{(u,v)})^{-1}}${\displaystyle (DX_{(u,v)})^{-1}} bildet einen Vektor des Tangentialraums der Fläche im Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}${\displaystyle p=X(u,v)} in den ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} ab. Die Abbildung ${\displaystyle DN_{(u,v)}}${\displaystyle DN_{(u,v)}} bildet den Bildvektor wieder in den Tangentialraum ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

${\displaystyle L_{X(u,v)}=-DN_{(u,v)}\circ (DX_{(u,v)})^{-1}}${\displaystyle L_{X(u,v)}=-DN_{(u,v)}\circ (DX_{(u,v)})^{-1}}

bildet den Tangentialraum im Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}${\displaystyle p=X(u,v)} auf sich ab und heißt Weingartenabbildung am Punkt ${\displaystyle p=X(u,v)}${\displaystyle p=X(u,v)}. Es gilt also

${\displaystyle L_{X(u,v)}X_{i}(u,v)=-N_{i}(u,v)}${\displaystyle L_{X(u,v)}X_{i}(u,v)=-N_{i}(u,v)} für ${\displaystyle i=1,2}${\displaystyle i=1,2}.

Die beiden Versionen der Weingartenabbildung sind auf völlig verschiedenen Vektorräumen definiert. Wählt man jedoch im Parameterbereich die Standardbasis und im Tangentialraum die Basis ${\displaystyle X_{u}(u,v)}${\displaystyle X_{u}(u,v)}, ${\displaystyle X_{v}(u,v)}${\displaystyle X_{v}(u,v)}, so stimmen die zugehörigen Abbildungsmatrizen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}h^{1}{_{1}}(u,v)&h^{1}{_{2}}(u,v)\\h^{2}{_{1}}(u,v)&h^{2}{_{2}}(u,v)\end{pmatrix}}}${\displaystyle {\begin{pmatrix}h^{1}{_{1}}(u,v)&h^{1}{_{2}}(u,v)\\h^{2}{_{1}}(u,v)&h^{2}{_{2}}(u,v)\end{pmatrix}}}

überein. Sie sind durch die Gleichungen

${\displaystyle L_{X(u,v)}(X_{u}(u,v))=-N_{u}(u,v)=h^{1}{_{1}}(u,v)X_{u}(u,v)+h^{2}{_{1}}(u,v)X_{v}(u,v)}${\displaystyle L_{X(u,v)}(X_{u}(u,v))=-N_{u}(u,v)=h^{1}{_{1}}(u,v)X_{u}(u,v)+h^{2}{_{1}}(u,v)X_{v}(u,v)}

${\displaystyle L_{X(u,v)}(X_{v}(u,v))=-N_{v}(u,v)=h^{1}{_{2}}(u,v)X_{u}(u,v)+h^{2}{_{2}}(u,v)X_{v}(u,v)}${\displaystyle L_{X(u,v)}(X_{v}(u,v))=-N_{v}(u,v)=h^{1}{_{2}}(u,v)X_{u}(u,v)+h^{2}{_{2}}(u,v)X_{v}(u,v)}

charakterisiert. In Einsteinscher Summenkonvention, mit ${\displaystyle X_{1}=X_{u}}${\displaystyle X_{1}=X_{u}}, ${\displaystyle X_{2}=X_{v}}${\displaystyle X_{2}=X_{v}}, ${\displaystyle N_{1}=N_{u}=DN_{(u,v)}(e_{1})}${\displaystyle N_{1}=N_{u}=DN_{(u,v)}(e_{1})}, ${\displaystyle N_{2}=N_{v}=DN_{(u,v)}(e_{2})}${\displaystyle N_{2}=N_{v}=DN_{(u,v)}(e_{2})} und unter Weglassung des Arguments:

${\displaystyle L(X_{j})=-N_{j}=h^{i}{}_{j}X_{i}}${\displaystyle L(X_{j})=-N_{j}=h^{i}{}_{j}X_{i}}

Für jedes Parameterpaar ${\displaystyle (u,v)}${\displaystyle (u,v)} ist die erste Fundamentalform ${\displaystyle g_{(u,v)}}${\displaystyle g_{(u,v)}} ein Skalarprodukt im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} und die zweite Fundamentalform ${\displaystyle h_{(u,v)}}${\displaystyle h_{(u,v)}} eine symmetrische Bilinearform. Diese sind durch die Weingartenabbildung wie folgt verbunden: Für Vektoren ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle w_{1},w_{2}\in \mathbb {R} ^{2}} gilt

${\displaystyle h(w_{1},w_{2})=g(w_{1},Lw_{2})}${\displaystyle h(w_{1},w_{2})=g(w_{1},Lw_{2})}.

Für die zugehörigen Matrixdarstellungen gilt in Einsteinscher Summenkonvention

${\displaystyle h_{ik}=g_{ij}h^{j}{_{k}}}${\displaystyle h_{ik}=g_{ij}h^{j}{_{k}}}

und

${\displaystyle h^{i}{}_{k}=g^{ij}h_{jk}.}${\displaystyle h^{i}{}_{k}=g^{ij}h_{jk}.}

• Die Weingartenabbildung ${\displaystyle L}${\displaystyle L} ist selbstadjungiert bezüglich der ersten Fundamentalform ${\displaystyle g}${\displaystyle g}, das heißt, für alle ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle w_{1},w_{2}\in \mathbb {R} ^{2}} gilt
  ${\displaystyle g(w_{1},Lw_{2})=g(Lw_{1},w_{2}),円.}${\displaystyle g(w_{1},Lw_{2})=g(Lw_{1},w_{2}),円.}
  In jedem Punkt der Fläche existiert deshalb eine Basis aus Eigenvektoren von ${\displaystyle L}${\displaystyle L}, die orthonormal bezüglich ${\displaystyle g}${\displaystyle g} ist.
• Die Richtungen der Eigenvektoren heißen Hauptkrümmungsrichtungen.
• Die Eigenwerte der Weingartenabbildung geben die Hauptkrümmungen der Fläche an.
• Für einen Vektor ${\displaystyle w\in T_{(u,v)}\mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle w\in T_{(u,v)}\mathbb {R} ^{2}} beschreibt ${\displaystyle Lw}${\displaystyle Lw} die Änderung der Flächennormalen in dieser Richtung an diesem Punkt.
• Die Weingartenabbildung ist die Ableitung der Gauß-Abbildung.

Dem Beispiel aus den Artikeln erste Fundamentalform und zweite Fundamentalform folgend, wird wieder die Oberfläche einer Kugel vom Radius ${\displaystyle r>0}${\displaystyle r>0} betrachtet. Diese Fläche wird wieder durch

${\displaystyle X(u,v)={\begin{pmatrix}r\sin u\cos v\\r\sin u\sin v\\r\cos u\end{pmatrix}}}${\displaystyle X(u,v)={\begin{pmatrix}r\sin u\cos v\\r\sin u\sin v\\r\cos u\end{pmatrix}}} parametrisiert.

Die Matrixdarstellung der ersten Fundamentalform besteht aus den Komponenten ${\displaystyle g_{uu}=r^{2}}${\displaystyle g_{uu}=r^{2}}, ${\displaystyle g_{uv}=g_{vu}=0}${\displaystyle g_{uv}=g_{vu}=0}, sowie ${\displaystyle g_{vv}=r^{2}\sin ^{2}u}${\displaystyle g_{vv}=r^{2}\sin ^{2}u}.

Die Matrixdarstellung der zweiten Fundamentalform besteht aus den Komponenten ${\displaystyle h_{uu}=-r}${\displaystyle h_{uu}=-r}, ${\displaystyle h_{uv}=h_{vu}=0}${\displaystyle h_{uv}=h_{vu}=0}, sowie ${\displaystyle h_{vv}=-r\sin ^{2}u}${\displaystyle h_{vv}=-r\sin ^{2}u}.

Beide sind durch die Gleichung ${\displaystyle h_{ik}=g_{ij}h^{j}{_{k}}}${\displaystyle h_{ik}=g_{ij}h^{j}{_{k}}} miteinander verbunden. Diese liefert durch Ausschreiben der Einsteinschen Summenkonvention folgende vier Gleichungen:

${\displaystyle h_{uu}=g_{uu}h^{u}{_{u}}+g_{uv}h^{v}{_{u}}}${\displaystyle h_{uu}=g_{uu}h^{u}{_{u}}+g_{uv}h^{v}{_{u}}}

${\displaystyle h_{uv}=g_{uu}h^{u}{_{v}}+g_{uv}h^{v}{_{v}}}${\displaystyle h_{uv}=g_{uu}h^{u}{_{v}}+g_{uv}h^{v}{_{v}}}

${\displaystyle h_{vu}=g_{vu}h^{u}{_{u}}+g_{vv}h^{v}{_{u}}}${\displaystyle h_{vu}=g_{vu}h^{u}{_{u}}+g_{vv}h^{v}{_{u}}}

${\displaystyle h_{vv}=g_{vu}h^{u}{_{v}}+g_{vv}h^{v}{_{v}}}${\displaystyle h_{vv}=g_{vu}h^{u}{_{v}}+g_{vv}h^{v}{_{v}}}

Durch Einsetzen der Komponenten der Matrixdarstellungen erhält man die Komponenten der Weingartenabbildung:

${\displaystyle h^{u}{_{u}}=h^{v}{_{v}}=-{\frac {1}{r}}}${\displaystyle h^{u}{_{u}}=h^{v}{_{v}}=-{\frac {1}{r}}}

${\displaystyle h^{u}{_{v}}=h^{v}{_{u}}=0}${\displaystyle h^{u}{_{v}}=h^{v}{_{u}}=0}

Alternativ hätte auch die explizite Formel ${\displaystyle h^{i}{}_{k}=g^{ij}h_{jk}}${\displaystyle h^{i}{}_{k}=g^{ij}h_{jk}} genutzt werden können. Dazu hätte allerdings die Matrix der ersten Fundamentalform invertiert werden müssen, um die ${\displaystyle g^{ij}}${\displaystyle g^{ij}} zu erhalten.

• Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4., überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0411-2. 

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Kategorie:

• Elementare Differentialgeometrie