L^p-Kohomologie

In der Mathematik ist ${\displaystyle L^{p}}${\displaystyle L^{p}}-Kohomologie eine Kohomologietheorie für Simplizialkomplexe oder glatte Mannigfaltigkeiten. Sie wird vor allem verwendet, um die "Geometrie im Unendlichen" zu untersuchen.

Sei ${\displaystyle X}${\displaystyle X} ein endlichdimensionaler Simplizialkomplex beschränkter Geometrie (d. h. es gibt ein ${\displaystyle K>0}${\displaystyle K>0}, so dass jeder Simplex höchstens ${\displaystyle K}${\displaystyle K} Nachbarn hat). Wir statten ${\displaystyle X}${\displaystyle X} mit der Längenmetrik aus, in der jeder Simplex isometrisch zum Standardsimplex ist. Für ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }${\displaystyle k\in \mathbb {N} } sei ${\displaystyle X_{k}}${\displaystyle X_{k}} die Menge der ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-Simplizes von ${\displaystyle X}${\displaystyle X}. Definiere die ${\displaystyle l_{p}}${\displaystyle l_{p}}-Koketten von ${\displaystyle X}${\displaystyle X} durch

${\displaystyle C_{p}^{k}(X):={\Bigl \{}f\colon X_{k}\to \mathbb {R} \;{\Big |}\;\sum _{\sigma \in X_{k}}|f(\sigma )|^{p}<\infty {\Bigr \}}}${\displaystyle C_{p}^{k}(X):={\Bigl \{}f\colon X_{k}\to \mathbb {R} \;{\Big |}\;\sum _{\sigma \in X_{k}}|f(\sigma )|^{p}<\infty {\Bigr \}}}.

Sie bilden mit der ${\displaystyle L^{p}}${\displaystyle L^{p}}-Norm einen topologischen Vektorraum.

Der Korand-Operator ${\displaystyle \delta _{k}\colon C_{p}^{k}(X)\to C_{p}^{k+1}(X)}${\displaystyle \delta _{k}\colon C_{p}^{k}(X)\to C_{p}^{k+1}(X)} wird definiert durch ${\displaystyle \delta f(\sigma ):=f(\partial \sigma )}${\displaystyle \delta f(\sigma ):=f(\partial \sigma )} für alle ${\displaystyle \sigma \in X_{k+1}}${\displaystyle \sigma \in X_{k+1}}. Dann definiert man die ${\displaystyle L^{p}}${\displaystyle L^{p}}-Kohomologie von ${\displaystyle X}${\displaystyle X} durch

${\displaystyle l_{p}H^{k}(X):=\ker(\delta _{k})/\operatorname {im} (\delta _{k-1})}${\displaystyle l_{p}H^{k}(X):=\ker(\delta _{k})/\operatorname {im} (\delta _{k-1})}

und die reduzierte ${\displaystyle L^{p}}${\displaystyle L^{p}}-Kohomologie durch

${\displaystyle l_{p}{\overline {H}}^{k}(X):=\ker(\delta _{k})/{\overline {\operatorname {im} (\delta _{k-1})}}}${\displaystyle l_{p}{\overline {H}}^{k}(X):=\ker(\delta _{k})/{\overline {\operatorname {im} (\delta _{k-1})}}}.

Beide sind topologische Vektorräume mit der von der ${\displaystyle L^{p}}${\displaystyle L^{p}}-Norm induzierten Topologie.

Sei ${\displaystyle F\colon X\to Y}${\displaystyle F\colon X\to Y} eine Quasi-Isometrie zwischen gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplexen, dann sind ${\displaystyle F^{*}\colon l_{p}H^{k}(Y)\to l_{p}H^{k}(X)}${\displaystyle F^{*}\colon l_{p}H^{k}(Y)\to l_{p}H^{k}(X)} und ${\displaystyle {\overline {F}}^{*}\colon l_{p}{\overline {H}}^{k}(Y)\to l_{p}{\overline {H}}^{k}(X)}${\displaystyle {\overline {F}}^{*}\colon l_{p}{\overline {H}}^{k}(Y)\to l_{p}{\overline {H}}^{k}(X)} Isomorphismen topologischer Vektorräume. (Ein metrischer Raum heißt gleichmäßig kontrahierbar, wenn es zu jedem ${\displaystyle r>0}${\displaystyle r>0} ein ${\displaystyle R>r}${\displaystyle R>r} gibt, so dass jeder ${\displaystyle r}${\displaystyle r}-Ball in einem ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Ball kontrahierbar ist.)

Wenn eine Gruppe ${\displaystyle \Gamma }${\displaystyle \Gamma } geometrisch auf einem gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplex ${\displaystyle X}${\displaystyle X} wirkt, dann ist

${\displaystyle l_{p}H^{*}(X)=H^{*}(\Gamma ,l^{p}\Gamma )}${\displaystyle l_{p}H^{*}(X)=H^{*}(\Gamma ,l^{p}\Gamma )}.

Falls zusätzlich das Zentrum von ${\displaystyle \Gamma }${\displaystyle \Gamma } unendlich ist, gilt ${\displaystyle l_{p}H^{k}(X)=0}${\displaystyle l_{p}H^{k}(X)=0} für alle ${\displaystyle p}${\displaystyle p} und ${\displaystyle k}${\displaystyle k}. Dies ist insbesondere der Fall für unendliche nilpotente Gruppen.

Für ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1} ist die ${\displaystyle l_{p}}${\displaystyle l_{p}}-Kohomologie ${\displaystyle l_{p}H^{*}(X)}${\displaystyle l_{p}H^{*}(X)} dual zur ${\displaystyle l_{q}}${\displaystyle l_{q}}-Homologie ${\displaystyle l_{q}H_{*}(X)}${\displaystyle l_{q}H_{*}(X)}.

Für Riemannsche Mannigfaltigkeiten der Dimension ${\displaystyle n}${\displaystyle n} quasi-isometrisch zu einem Simplizialkomplex beschränkter Geometrie hat man zusätzlich die Poincaré-Dualität ${\displaystyle l_{p}H^{k}(X)=l_{p}H_{n-k}(X)}${\displaystyle l_{p}H^{k}(X)=l_{p}H_{n-k}(X)}.

Für differenzierbare Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}${\displaystyle M} kann ${\displaystyle l_{p}H^{k}(M)}${\displaystyle l_{p}H^{k}(M)} äquivalent definiert werden als Quotientenraum der geschlossenen ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-Formen ${\displaystyle \alpha \in L^{p}}${\displaystyle \alpha \in L^{p}} modulo der Differentiale von ${\displaystyle (k-1)}${\displaystyle (k-1)}-Formen ${\displaystyle \beta \in L^{p}}${\displaystyle \beta \in L^{p}} mit ${\displaystyle d\beta \in L^{p}}${\displaystyle d\beta \in L^{p}}.

Sei ${\displaystyle X}${\displaystyle X} der ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-dimensionale hyperbolische Raum. Dann gilt für ${\displaystyle p<{\tfrac {n-1}{k}}}${\displaystyle p<{\tfrac {n-1}{k}}} oder ${\displaystyle p>{\tfrac {n-1}{k-1}}}${\displaystyle p>{\tfrac {n-1}{k-1}}} jeweils ${\displaystyle l_{p}H^{k}(X)=l_{p}{\overline {H}}^{k}(X)=0}${\displaystyle l_{p}H^{k}(X)=l_{p}{\overline {H}}^{k}(X)=0} und für ${\displaystyle {\tfrac {n-1}{k}}<p<{\tfrac {n-1}{k-1}}}${\displaystyle {\tfrac {n-1}{k}}<p<{\tfrac {n-1}{k-1}}} jeweils ${\displaystyle l_{p}H^{k}(X)=l_{p}{\overline {H}}^{k}(X)\not =0}${\displaystyle l_{p}H^{k}(X)=l_{p}{\overline {H}}^{k}(X)\not =0}.

Für Heintze-Gruppen ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}\rtimes _{\alpha }\mathbb {R} }${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}\rtimes _{\alpha }\mathbb {R} } mit ${\displaystyle \alpha (t)=diag(e^{\lambda _{1}t},\ldots ,e^{\lambda _{n}t})}${\displaystyle \alpha (t)=diag(e^{\lambda _{1}t},\ldots ,e^{\lambda _{n}t})} und ${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \ldots \leq \lambda _{n}}${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \ldots \leq \lambda _{n}} gilt ${\displaystyle l_{p}H^{k}(X)=0}${\displaystyle l_{p}H^{k}(X)=0} genau dann, wenn ${\displaystyle p>{\tfrac {\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}{\lambda _{n-k}+\ldots +\lambda _{n}}}}${\displaystyle p>{\tfrac {\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}{\lambda _{n-k}+\ldots +\lambda _{n}}}}.

Für eine einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung ${\displaystyle -1\leq K\leq -\delta <0}${\displaystyle -1\leq K\leq -\delta <0} ist ${\displaystyle l_{p}H^{k}(X)=0}${\displaystyle l_{p}H^{k}(X)=0} für alle ${\displaystyle 1<p\leq 1+{\tfrac {n-k-1}{k}}{\sqrt {\delta }}}${\displaystyle 1<p\leq 1+{\tfrac {n-k-1}{k}}{\sqrt {\delta }}}.

Die L^p-Kohomologie einer topologischen Gruppe ${\displaystyle G}${\displaystyle G} ist definiert als stetige Gruppenkohomologie mit Koeffizienten ${\displaystyle l^{p}G}${\displaystyle l^{p}G}.

Wenn ${\displaystyle G}${\displaystyle G} eigentlich diskontinuierlich auf einem gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplex ${\displaystyle X}${\displaystyle X} wirkt, ist ${\displaystyle l_{p}H^{*}(G)=l_{p}H^{*}(X)}${\displaystyle l_{p}H^{*}(G)=l_{p}H^{*}(X)}.

Für Gruppen, die lokal kompakt sind, das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen und eine eigentliche links-invariante Metrik tragen, ist die L^p-Kohomologie invariant unter Quasi-Isometrien. Insbesondere lässt sich die Berechnung der L^p-Kohomologie einfacher Lie-Gruppen auf die Berechnung der L^p-Kohomologie einer parabolischer Untergruppe zurückführen.^[1]

• Michail Leonidowitsch Gromow: Asymptotic invariants of infinite groups in "Geometric Group Theory", Cambridge University Press, 1993.

• Pierre Pansu: L^p cohomology

1. ↑ M. Bourdon, B. Rémy: Quasi-isometric invariance of continuous group L^p-cohomology, and first applications to vanishings. Annales Henri Lebesgue 3, 1291–1326 (2020)

• Kohomologietheorie
• Differentialgeometrie