K-monotone Funktion

Eine K-monotone Funktion ist eine Verallgemeinerung einer reellen monotonen Funktion auf Funktionen, die vom ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} nach ${\displaystyle \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {R} } abbilden. Dabei wird die Ordnung auf den reellen Zahlen mittels eines echten Kegels zu einer Halbordnung auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} verallgemeinert. K-monotone Funktionen lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Gegeben sei eine Funktion ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } mit ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}} und ein echter Kegel ${\displaystyle K}${\displaystyle K} im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} sowie die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung ${\displaystyle \preccurlyeq _{K}}${\displaystyle \preccurlyeq _{K}} und die strikte verallgemeinerte Ungleichung ${\displaystyle \prec _{K}}${\displaystyle \prec _{K}}. Dann heißt die Funktion

• K-monoton wachsend oder K-monoton steigend, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in D}${\displaystyle x,y\in D} mit ${\displaystyle x\preccurlyeq _{K}y}${\displaystyle x\preccurlyeq _{K}y} gilt, dass ${\displaystyle f(x)\leq f(y)}${\displaystyle f(x)\leq f(y)} ist.
• K-monoton fallend, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in D}${\displaystyle x,y\in D} mit ${\displaystyle x\preccurlyeq _{K}y}${\displaystyle x\preccurlyeq _{K}y} gilt, dass ${\displaystyle f(x)\geq f(y)}${\displaystyle f(x)\geq f(y)} ist.
• strikt K-monoton wachsend oder strikt K-monoton steigend, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in D,,円x\neq y}${\displaystyle x,y\in D,,円x\neq y} mit ${\displaystyle x\preccurlyeq _{K}y}${\displaystyle x\preccurlyeq _{K}y} gilt, dass ${\displaystyle f(x)<f(y)}${\displaystyle f(x)<f(y)} ist.
• strikt K-monoton fallend, wenn für alle ${\displaystyle x,y\in D,,円x\neq y}${\displaystyle x,y\in D,,円x\neq y} mit ${\displaystyle x\preccurlyeq _{K}y}${\displaystyle x\preccurlyeq _{K}y} gilt, dass ${\displaystyle f(x)>f(y)}${\displaystyle f(x)>f(y)} ist.
• strikt K-monoton, wenn sie entweder strikt K-monoton wachsend (strikt K-monoton steigend) oder strikt K-monoton fallend ist.
• K-monoton, wenn sie entweder K-monoton wachsend (K-monoton steigend) oder K-monoton fallend ist.

• Jede monoton wachsende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}${\displaystyle K=\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}.
• Jede monoton fallende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels ${\displaystyle K=\mathbb {R} _{-}=(-\infty ,0]}${\displaystyle K=\mathbb {R} _{-}=(-\infty ,0]}. Die Angabe des Kegels ist also essentiell, um Verwechslungen vorzubeugen.
• Sind die Funktionen ${\displaystyle f_{i}(x_{i})}${\displaystyle f_{i}(x_{i})} monoton wachsend, so ist die Funktion

${\displaystyle f(x)=f_{1}(x_{1})+\dots +f_{n}(x_{n})}${\displaystyle f(x)=f_{1}(x_{1})+\dots +f_{n}(x_{n})}

K-monoton wachsend bezüglich des positiven Orthanten ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. Dies folgt direkt aus der Monotonie der ${\displaystyle f_{i}}${\displaystyle f_{i}}.

Sei ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{n}\supset D\to R}${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{n}\supset D\to R} differenzierbar und ${\displaystyle D}${\displaystyle D} eine konvexe Menge sowie ${\displaystyle K^{D}}${\displaystyle K^{D}} der duale Kegel des Kegels ${\displaystyle K}${\displaystyle K}. Dann gilt:

• ${\displaystyle h}${\displaystyle h} ist K-monoton wachsend auf ${\displaystyle D}${\displaystyle D} genau dann, wenn ${\displaystyle \nabla h(x)\succcurlyeq _{K^{D}}0}${\displaystyle \nabla h(x)\succcurlyeq _{K^{D}}0} für alle ${\displaystyle x\in D}${\displaystyle x\in D}.
• ${\displaystyle h}${\displaystyle h} ist K-monoton fallend auf ${\displaystyle D}${\displaystyle D} genau dann, wenn ${\displaystyle \nabla h(x)\preccurlyeq _{K^{D}}0}${\displaystyle \nabla h(x)\preccurlyeq _{K^{D}}0} für alle ${\displaystyle x\in D}${\displaystyle x\in D}.
• Wenn ${\displaystyle \nabla h(x)\succ _{K^{D}}0}${\displaystyle \nabla h(x)\succ _{K^{D}}0} für alle ${\displaystyle x\in D}${\displaystyle x\in D} gilt, dann ist ${\displaystyle h}${\displaystyle h} strikt K-monoton wachsend auf ${\displaystyle D}${\displaystyle D}.
• Wenn ${\displaystyle \nabla h(x)\prec _{K^{D}}0}${\displaystyle \nabla h(x)\prec _{K^{D}}0} für alle ${\displaystyle x\in D}${\displaystyle x\in D} gilt, dann ist ${\displaystyle h}${\displaystyle h} strikt K-monoton fallend auf ${\displaystyle D}${\displaystyle D}.

Wählt man als Vektorraum anstelle des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} den ${\displaystyle S^{n}}${\displaystyle S^{n}} (der Vektorraum aller reellen symmetrischen Matrizen), so nennt man die entsprechenden Funktionen ${\displaystyle h\colon S^{n}\to \mathbb {R} }${\displaystyle h\colon S^{n}\to \mathbb {R} } Matrix-monotone Funktionen. Als Kegel wählt man hier den Kegel der semidefiniten Matrizen ${\displaystyle S_{+}^{n}}${\displaystyle S_{+}^{n}}, was äquivalent zur Verwendung der Loewner-Halbordnung ist. Die Benennung folgt dem obigen Schema. So ist die Determinante ${\displaystyle \det \colon S^{n}\to \mathbb {R} }${\displaystyle \det \colon S^{n}\to \mathbb {R} } strikt Matrix-monoton wachsend auf dem Kegel ${\displaystyle S_{++}^{n}}${\displaystyle S_{++}^{n}} der positiv definiten Matrizen.

K-monotone Funktionen finden Verwendung in der Theorie der konvexen Funktionen. So ist zum Beispiel die Verkettung einer K-monoton wachsenden konvexen Funktion und einer K-konvexen Funktion wieder konvex.

Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online). 

• Mathematische Funktion