K-konvexe Funktion

Eine K-konvexe Funktion ist einer Verallgemeinerung des Begriffes der Konvexität einer Funktion auf reell-vektorwertige Funktionen. Dazu wird die strikte Ordnung auf ${\displaystyle \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {R} } abgeschwächt und es wird mit Halbordnungen auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} gearbeitet, den sogenannten verallgemeinerten Ungleichungen.

Gegeben sei ein abgeschlossener, spitzer und konvexer Kegel ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{m}} mit nichtleerem Inneren und ${\displaystyle \preccurlyeq _{K}}${\displaystyle \preccurlyeq _{K}} bzw. ${\displaystyle \prec _{K}}${\displaystyle \prec _{K}} die von diesem Kegel induzierte Halbordnung bzw. strikte Halbordnung. Des Weiteren sei ${\displaystyle D}${\displaystyle D} eine konvexe Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. Die Funktion

${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} ^{m}}

heißt K-konvex auf der Menge ${\displaystyle D}${\displaystyle D} genau dann, wenn

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\preccurlyeq _{K}\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)}${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\preccurlyeq _{K}\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)}

gilt für alle ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}${\displaystyle \lambda \in [0,1]} und alle ${\displaystyle x,y\in D}${\displaystyle x,y\in D}. Die Funktion ${\displaystyle f}${\displaystyle f} heißt strikt K-konvex auf der Menge ${\displaystyle D}${\displaystyle D}, wenn

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\prec _{K}\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)}${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\prec _{K}\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)}

für alle ${\displaystyle \lambda \in (0,1)}${\displaystyle \lambda \in (0,1)} und alle ${\displaystyle x\neq y}${\displaystyle x\neq y} in ${\displaystyle D}${\displaystyle D} gilt.

• Setzt man ${\displaystyle m=1}${\displaystyle m=1}, ist die Funktion also reellwertig, und wählt als Kegel die Menge ${\displaystyle K=\{x\geq 0\}}${\displaystyle K=\{x\geq 0\}}, so sind die K-konvexen Funktionen genau die konvexen Funktionen. Dies liegt daran, dass die von dem Kegel induzierte Ordnung die gewöhnliche Ordnung auf den reellen Zahlen ist.
• Wählt man hingegen als Kegel die Menge ${\displaystyle K=\{x\leq 0\}}${\displaystyle K=\{x\leq 0\}}, so sind die K-konvexen Funktionen genau die konkaven Funktionen, da der Kegel die Ordnung auf den reellen Zahlen umkehrt.
• Ist der Kegel die Menge

${\displaystyle K=\{x\in \mathbb {R} ^{m},円|,円x_{i}\geq 0,円{\text{ für alle }},円i=1,\dots ,n\}}${\displaystyle K=\{x\in \mathbb {R} ^{m},円|,円x_{i}\geq 0,円{\text{ für alle }},円i=1,\dots ,n\}}, so ist die induzierte allgemeine Ungleichung das komponentenweise kleinergleich. Die K-konvexen Funktionen sind dann die Funktionen, deren Komponenten alle konvex sind.

• Affine Funktionen sind immer K-Konvex, unabhängig vom verwendeten Kegel. Dies folgt direkt aus der Linearität der Funktion und der Reflexivität der verallgemeinerten Ungleichung.
• Die Subniveaumenge einer K-konvexen Funktion ist eine konvexe Menge.
• Eine Funktion ist genau dann K-konvex, wenn ihr Epigraph eine konvexe Menge ist. Der Epigraph wird in diesem Fall mittels der verallgemeinerten Ungleichung und nicht mit dem herkömmlichen kleinergleich definiert.

Die K-Konvexität einer Funktion lässt sich auch gut mittels der von dem zu ${\displaystyle K}${\displaystyle K} dualen Kegel ${\displaystyle K^{*}}${\displaystyle K^{*}} induzierten Halbordnung beschreiben. Eine Funktion ist genau dann (strikt) K-konvex, wenn für jeden vom Nullvektor verschiedenen Vektor ${\displaystyle v}${\displaystyle v} mit ${\displaystyle 0\preccurlyeq _{K^{*}}v}${\displaystyle 0\preccurlyeq _{K^{*}}v} gilt, dass ${\displaystyle v^{T}f}${\displaystyle v^{T}f} (strikt) konvex im herkömmlichen Sinne ist.

Ist ${\displaystyle f}${\displaystyle f} eine differenzierbare Funktion, so ist diese genau dann K-konvex, wenn

${\displaystyle f(x)+Df(x)(y-x)\preccurlyeq _{K}f(y)}${\displaystyle f(x)+Df(x)(y-x)\preccurlyeq _{K}f(y)} für alle ${\displaystyle x,y}${\displaystyle x,y}. Hierbei ist ${\displaystyle D}${\displaystyle D} die Jacobi-Matrix.

Die Kompositionen von K-konvexen Funktionen sind unter gewissen Umständen wieder konvex.

• Ist ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} K-konvex und ${\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }${\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} } konvex und ist die erweiterte Funktion ${\displaystyle {\tilde {h}}}${\displaystyle {\tilde {h}}} K-monoton wachsend, so ist ${\displaystyle h(g(x))}${\displaystyle h(g(x))} konvex. Insbesondere müssen die beiden Kegel, welche die K-Konvexität und die K-Monotonie definieren, übereinstimmen.

Betrachtet man Abbildungen vom ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} in den Raum der symmetrischen reellen Matrizen ${\displaystyle S^{n}}${\displaystyle S^{n}}, versehen mit der Loewner-Halbordnung ${\displaystyle \succcurlyeq _{S_{+}^{n}}}${\displaystyle \succcurlyeq _{S_{+}^{n}}}, so heißen die entsprechenden K-konvexen Funktionen auch Matrix-konvexe Funktionen. Eine äquivalente Charakterisierung der Matrix-Konvexität ist, dass die Funktion ${\displaystyle g(x)=z^{T}f(x)z}${\displaystyle g(x)=z^{T}f(x)z} konvex ist für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}} genau dann, wenn ${\displaystyle f(x)}${\displaystyle f(x)} Matrix-konvex ist.

Beispielsweise ist die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n\times m}\to S^{n}}${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n\times m}\to S^{n}}, definiert durch ${\displaystyle f(X)=X\cdot X^{T}}${\displaystyle f(X)=X\cdot X^{T}}, matrix-konvex, weil ${\displaystyle z^{T}XXz=\Vert X^{T}z\Vert _{2}^{2}}${\displaystyle z^{T}XXz=\Vert X^{T}z\Vert _{2}^{2}} konvex ist wegen der Konvexität der Norm.

K-konvexe Funktionen werden beispielsweise bei der Formulierung von konischen Programmen oder Verallgemeinerungen der Lagrange-Dualität verwendet.

Teilweise werden auch Abbildungen ${\displaystyle f\colon V_{1}\mapsto V_{2}}${\displaystyle f\colon V_{1}\mapsto V_{2}} zwischen zwei reellen Vektorräumen betrachtet und ${\displaystyle V_{2}}${\displaystyle V_{2}} nur mit einem Ordnungskegel ${\displaystyle K}${\displaystyle K} versehen, nicht mit einer verallgemeinerten Ungleichung. An die Abbildung wird die Forderung

${\displaystyle \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)-f(\lambda x+(1-\lambda )y)\in K}${\displaystyle \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)-f(\lambda x+(1-\lambda )y)\in K}

für alle ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}${\displaystyle \lambda \in [0,1]} und ${\displaystyle x,y}${\displaystyle x,y} aus der konvexen Menge ${\displaystyle M}${\displaystyle M} gestellt. Dann wird die Abbildung ${\displaystyle f}${\displaystyle f} wieder eine konvexe Abbildung genannt.

• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online). 

• Konvexe Optimierung
• Mathematische Funktion