Invariantes Polynom

In der Mathematik ist ein invariantes Polynom ein Polynom ${\displaystyle P}${\displaystyle P} auf einem Vektorraum (siehe Symmetrische Algebra), welches unter der Wirkung einer Gruppe ${\displaystyle G}${\displaystyle G} auf dem Vektorraum ${\displaystyle V}${\displaystyle V} invariant ist, also

${\displaystyle P(gx)=P(x)}${\displaystyle P(gx)=P(x)}

für alle ${\displaystyle g\in G,x\in V}${\displaystyle g\in G,x\in V} erfüllt.

Sei ${\displaystyle \mathbb {K} }${\displaystyle \mathbb {K} } ein Körper und ${\displaystyle V=\operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )}${\displaystyle V=\operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )} der Vektorraum aller ${\displaystyle n\times n}${\displaystyle n\times n}-Matrizen über ${\displaystyle \mathbb {K} }${\displaystyle \mathbb {K} }. Die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )}${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )} wirkt auf ${\displaystyle V}${\displaystyle V} durch Konjugation:

${\displaystyle gx:=gxg^{-1}}${\displaystyle gx:=gxg^{-1}} für ${\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} ),x\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )}${\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} ),x\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )}.

Invariante Polynome sind in diesem Fall Funktionen ${\displaystyle P:\operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }${\displaystyle P:\operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} } mit ${\displaystyle P(gxg^{-1})=P(x)}${\displaystyle P(gxg^{-1})=P(x)} für alle ${\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} ),x\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )}${\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} ),x\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )}.

Beispiele sind die Spur und die Determinante von Matrizen. Allgemeiner kann man (mit einer formalen Variable ${\displaystyle t}${\displaystyle t}) die Entwicklung

${\displaystyle \det(tA+I)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(A)t^{k}}${\displaystyle \det(tA+I)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(A)t^{k}}

betrachten und erhält invariante Polynome ${\displaystyle c_{0},\ldots ,c_{n}}${\displaystyle c_{0},\ldots ,c_{n}}. (${\displaystyle c_{1}}${\displaystyle c_{1}} ist die Spur und ${\displaystyle c_{n}}${\displaystyle c_{n}} die Determinante. Falls ${\displaystyle \mathbb {K} }${\displaystyle \mathbb {K} } algebraisch abgeschlossen ist, dann ist allgemein ${\displaystyle c_{k}}${\displaystyle c_{k}} das k-te elementarsymmetrische Polynom in den Eigenwerten von ${\displaystyle A}${\displaystyle A}.)

Sei ${\displaystyle G}${\displaystyle G} eine Lie-Gruppe und ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}} ihre Lie-Algebra. Ein Polynom auf ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}} ist ein Polynom (mit reellen Koeffizienten) in den Basisvektoren von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}, siehe Symmetrische Algebra.

Die Gruppe ${\displaystyle G}${\displaystyle G} wirkt auf sich selbst durch Konjugation: ${\displaystyle c_{g}(h):=ghg^{-1}}${\displaystyle c_{g}(h):=ghg^{-1}} für alle ${\displaystyle h\in G}${\displaystyle h\in G}. Das Differential von ${\displaystyle c_{g}}${\displaystyle c_{g}} ist eine lineare Abbildung

${\displaystyle \operatorname {Ad} (g):=D(c_{g})_{e}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}${\displaystyle \operatorname {Ad} (g):=D(c_{g})_{e}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}},

dies definiert die sogenannte adjungierte Darstellung der Gruppe ${\displaystyle G}${\displaystyle G} auf dem Vektorraum ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}.

Ein invariantes Polynom ist ein Polynom auf ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}, welches invariant unter der adjungierten Wirkung ist, also

${\displaystyle P(\operatorname {Ad} (g)X_{1},\ldots ,\operatorname {Ad} (g)X_{k})=P(X_{1},\ldots ,X_{k})}${\displaystyle P(\operatorname {Ad} (g)X_{1},\ldots ,\operatorname {Ad} (g)X_{k})=P(X_{1},\ldots ,X_{k})} für alle ${\displaystyle g\in G,X_{1},\ldots ,X_{k}\in {\mathfrak {g}}}${\displaystyle g\in G,X_{1},\ldots ,X_{k}\in {\mathfrak {g}}}

erfüllt. Die Algebra der invarianten Polynome wird mit ${\displaystyle I^{*}({\mathfrak {g}})}${\displaystyle I^{*}({\mathfrak {g}})} bezeichnet.

In diesem Fall ist ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )}${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )} und ${\displaystyle Ad(g)(A)=gAg^{-1}}${\displaystyle Ad(g)(A)=gAg^{-1}} für ${\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} ),A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )}${\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} ),A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )}. Für ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }${\displaystyle k\in \mathbb {N} } sei ${\displaystyle P_{\frac {k}{2}}}${\displaystyle P_{\frac {k}{2}}} das homogene Polynom vom Grad ${\displaystyle k}${\displaystyle k}, dessen Wert auf ${\displaystyle (A,\ldots ,A)}${\displaystyle (A,\ldots ,A)} man als Koeffizienten vom Grad ${\displaystyle n-k}${\displaystyle n-k} im Polynom

${\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi }}A\right)=\sum _{k}P_{\frac {k}{2}}(A,\ldots ,A)\lambda ^{n-k}}${\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi }}A\right)=\sum _{k}P_{\frac {k}{2}}(A,\ldots ,A)\lambda ^{n-k}}

erhält, für alle ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )}${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )}. (Die Werte für die ${\displaystyle (A,\ldots ,A)}${\displaystyle (A,\ldots ,A)} legen ein Polynom bereits eindeutig fest.) Das Polynom ${\displaystyle P_{\frac {k}{2}}}${\displaystyle P_{\frac {k}{2}}} heißt das ${\displaystyle {\frac {k}{2}}}${\displaystyle {\frac {k}{2}}}-te Pontrjagin-Polynom.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den ${\displaystyle P_{\frac {k}{2}}\in I^{k}({\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} ))}${\displaystyle P_{\frac {k}{2}}\in I^{k}({\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} ))} erzeugt.

Für ${\displaystyle A\in {\mathfrak {o}}(n)}${\displaystyle A\in {\mathfrak {o}}(n)} gilt ${\displaystyle A=-A^{T}}${\displaystyle A=-A^{T}}, woraus zunächst ${\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi }}A\right)=\det \left(\lambda \mathbb {I} +{\frac {1}{2\pi }}A\right)}${\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi }}A\right)=\det \left(\lambda \mathbb {I} +{\frac {1}{2\pi }}A\right)} und damit dann ${\displaystyle P_{\frac {k}{2}}=0}${\displaystyle P_{\frac {k}{2}}=0} für alle ungeraden ${\displaystyle k}${\displaystyle k} folgt.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den ${\displaystyle P_{k}\in I^{2k}({\mathfrak {o}}(n))}${\displaystyle P_{k}\in I^{2k}({\mathfrak {o}}(n))} erzeugt.

Falls ${\displaystyle n=2m}${\displaystyle n=2m} gerade ist, hat man zusätzlich noch die Pfaffsche Determinante, die für ${\displaystyle A=(a_{ij})}${\displaystyle A=(a_{ij})} mit ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}}${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}} definiert ist durch

${\displaystyle Pf(A,\ldots ,A)={\frac {1}{2^{2m}\pi ^{m}m!}}\sum _{\sigma \in S_{2m}}sign(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}\ldots a_{\sigma (2m-1)\sigma (2m)}}${\displaystyle Pf(A,\ldots ,A)={\frac {1}{2^{2m}\pi ^{m}m!}}\sum _{\sigma \in S_{2m}}sign(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}\ldots a_{\sigma (2m-1)\sigma (2m)}}.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Pontrjagin-Polynomen ${\displaystyle P_{k}\in I^{2k}({\mathfrak {so}}(n))}${\displaystyle P_{k}\in I^{2k}({\mathfrak {so}}(n))} und – falls ${\displaystyle n}${\displaystyle n} gerade ist – der (auch als Euler-Polynom bezeichneten) Pfaffschen Determinante ${\displaystyle Pf\in I^{\frac {n}{2}}({\mathfrak {so}}(n))}${\displaystyle Pf\in I^{\frac {n}{2}}({\mathfrak {so}}(n))} erzeugt.

Für ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }${\displaystyle k\in \mathbb {N} } sei ${\displaystyle C_{\frac {k}{2}}}${\displaystyle C_{\frac {k}{2}}} das komplex-wertige homogene Polynom vom Grad ${\displaystyle k}${\displaystyle k}, dessen Wert auf ${\displaystyle (A,\ldots ,A)}${\displaystyle (A,\ldots ,A)} man als Koeffizienten vom Grad ${\displaystyle n-k}${\displaystyle n-k} im Polynom

${\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)=\sum _{k}C_{k}(A,\ldots ,A)\lambda ^{n-k}}${\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)=\sum _{k}C_{k}(A,\ldots ,A)\lambda ^{n-k}}

erhält, für alle ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {C} )}${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {C} )}. Das Polynom ${\displaystyle C_{k}}${\displaystyle C_{k}} heißt das ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-te Chern-Polynom. Die Chern- und Pontrjagin-Polynome hängen über die Gleichung ${\displaystyle i^{k}C_{k}(A,\ldots ,A)=P_{\frac {k}{2}}(A,\ldots ,A)}${\displaystyle i^{k}C_{k}(A,\ldots ,A)=P_{\frac {k}{2}}(A,\ldots ,A)} zusammen.

Die Algebra der komplex-wertigen invarianten Polynome wird von den ${\displaystyle C_{k}\in I^{k}({\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ))}${\displaystyle C_{k}\in I^{k}({\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ))} erzeugt.

Für ${\displaystyle A\in {\mathfrak {u}}(n)}${\displaystyle A\in {\mathfrak {u}}(n)} ist ${\displaystyle A=-A^{H}}${\displaystyle A=-A^{H}} und damit ${\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)={\overline {\det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)}},}${\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)={\overline {\det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)}},} deshalb sind die Chern-Polynome auf ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)} reell-wertig.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den ${\displaystyle C_{k}\in I^{k}({\mathfrak {u}}(n))}${\displaystyle C_{k}\in I^{k}({\mathfrak {u}}(n))} erzeugt.

• Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu: Foundations of differential geometry. Vol. I, II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1969.
• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. ISBN 3-540-08663-3

• Gruppentheorie