Symmetrische Algebra

Eine symmetrische Algebra ist ein Hilfsmittel zur Definition von Polynomen über beliebigen Vektorräumen. Symmetrische Algebren spielen eine wichtige Rolle etwa in der Theorie der Lie-Gruppen und in der Theorie der charakteristischen Klassen.

Es sei ${\displaystyle V}${\displaystyle V} ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}${\displaystyle K}. Weiter sei

${\displaystyle T^{k}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{k{\text{-mal}}}}${\displaystyle T^{k}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{k{\text{-mal}}}}

das ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-fache Tensorprodukt von ${\displaystyle V}${\displaystyle V} mit den Konventionen ${\displaystyle T^{0}(V)=K}${\displaystyle T^{0}(V)=K} und ${\displaystyle T^{1}(V)=V}${\displaystyle T^{1}(V)=V}. Die direkte Summe

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}(V)}${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}(V)}

ist die Tensoralgebra von ${\displaystyle V}${\displaystyle V}.

Das zweiseitige, homogene Ideal ${\displaystyle I(V)\subseteq T(V)}${\displaystyle I(V)\subseteq T(V)} sei erzeugt durch Differenzen von Elementartensoren mit „vertauschter Reihenfolge":

${\displaystyle I(V):=\mathrm {span} \left\{v\otimes w-w\otimes v\;{\Big |}\;v,w\in V\right\}}${\displaystyle I(V):=\mathrm {span} \left\{v\otimes w-w\otimes v\;{\Big |}\;v,w\in V\right\}}.

Die symmetrische Algebra ist dann definiert als der Quotientenraum

${\displaystyle S(V)=T(V)/I(V)}${\displaystyle S(V)=T(V)/I(V)}.

Die ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-te symmetrische Potenz von ${\displaystyle V}${\displaystyle V} ist definiert als das Bild von ${\displaystyle T^{k}(V)}${\displaystyle T^{k}(V)} in ${\displaystyle S(V)}${\displaystyle S(V)}, sie wird mit ${\displaystyle S^{k}(V)}${\displaystyle S^{k}(V)} bezeichnet. Man hat eine Zerlegung

${\displaystyle S(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }S^{k}(V)}${\displaystyle S(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }S^{k}(V)}.

Das Produkt in der symmetrischen Algebra wird traditionell als ${\displaystyle ab}${\displaystyle ab} geschrieben.

Analog kann man die symmetrische Algebra von Moduln über kommutativen Ringen definieren.

Für ${\displaystyle V=K}${\displaystyle V=K} ist ${\displaystyle S(V)}${\displaystyle S(V)} isomorph zum Polynomring ${\displaystyle K[X]}${\displaystyle K[X]}.

Allgemein kann man die Elemente von ${\displaystyle S(V)}${\displaystyle S(V)} als Polynome in den Elementen einer fest gewählten ${\displaystyle K}${\displaystyle K}-Basis von ${\displaystyle V}${\displaystyle V} interpretieren.

Speziell für ${\displaystyle V:={\mathfrak {gl}}(n,K)=\operatorname {Mat} (n,K)}${\displaystyle V:={\mathfrak {gl}}(n,K)=\operatorname {Mat} (n,K)}, den Vektorraum der ${\displaystyle n\times n}${\displaystyle n\times n}-Matrizen über ${\displaystyle K}${\displaystyle K}, kann man die Elemente von ${\displaystyle S(V)}${\displaystyle S(V)} als Polynome in den Einträgen der Matrizen interpretieren:

${\displaystyle S({\mathfrak {gl}}(n,K))\simeq K\left[x_{11},\ldots ,x_{nn}\right]}${\displaystyle S({\mathfrak {gl}}(n,K))\simeq K\left[x_{11},\ldots ,x_{nn}\right]}.

Homogene Polynome vom Grad ${\displaystyle k}${\displaystyle k} über einem ${\displaystyle \mathbb {K} }${\displaystyle \mathbb {K} }-Vektorraum ${\displaystyle V}${\displaystyle V} sind – per Definition – die Elemente aus ${\displaystyle S^{k}(V^{*})}${\displaystyle S^{k}(V^{*})}, wobei ${\displaystyle V^{*}}${\displaystyle V^{*}} den Dualraum bezeichnet. Diese Polynome sind lineare Abbildungen

${\displaystyle P:\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{k{\text{-mal}}}\rightarrow \mathbb {K} }${\displaystyle P:\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{k{\text{-mal}}}\rightarrow \mathbb {K} }

welche unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{k}}${\displaystyle S_{k}} invariant sind. (Man beachte, dass ein solches Polynom durch seine Werte ${\displaystyle P(x,x,\ldots ,x)}${\displaystyle P(x,x,\ldots ,x)} für alle ${\displaystyle x\in V}${\displaystyle x\in V} bereits eindeutig festgelegt wird.)

Das Produkt

${\displaystyle S^{k}(V^{*})\otimes S^{l}(V^{*})\rightarrow S^{k+l}(V^{*})}${\displaystyle S^{k}(V^{*})\otimes S^{l}(V^{*})\rightarrow S^{k+l}(V^{*})}

ist definiert durch

${\displaystyle (PQ)(v_{1},\ldots ,v_{k+l})={\frac {1}{(k+l)!}}\sum _{\sigma \in S_{k+l}}P(v_{\sigma (1)},\ldots .v_{\sigma (k)})Q(v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+l)})}${\displaystyle (PQ)(v_{1},\ldots ,v_{k+l})={\frac {1}{(k+l)!}}\sum _{\sigma \in S_{k+l}}P(v_{\sigma (1)},\ldots .v_{\sigma (k)})Q(v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+l)})}.

• Graßmann-Algebra

• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer, Berlin-New York 1978. ISBN 3-540-08663-3

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