Frattinigruppe

In der Gruppentheorie ist die Frattinigruppe (oder genauer Frattiniuntergruppe) eine spezielle Untergruppe einer gegebenen Gruppe. Mit ihrer Hilfe kann insbesondere die Struktur endlicher p-Gruppen untersucht werden. Sie ist benannt nach dem italienischen Mathematiker Giovanni Frattini, der sie in einem 1885 erschienenen Artikel definiert hat.^[1]

Ist ${\displaystyle G}${\displaystyle G} eine Gruppe, dann ist die Frattinigruppe ${\displaystyle \Phi (G)}${\displaystyle \Phi (G)} definiert als der Schnitt aller maximalen Untergruppen von ${\displaystyle G}${\displaystyle G}.^[2]

Dabei heißt eine Untergruppe ${\displaystyle M}${\displaystyle M} von ${\displaystyle G}${\displaystyle G} maximal, wenn ${\displaystyle M\neq G}${\displaystyle M\neq G} gilt und es keine echt größere Untergruppe ${\displaystyle H}${\displaystyle H} mit ${\displaystyle M\subsetneq H\subsetneq G}${\displaystyle M\subsetneq H\subsetneq G} gibt.

Falls ${\displaystyle G}${\displaystyle G} keine maximalen Untergruppen hat, etwa im Fall der trivialen Gruppe ${\displaystyle G=\{e\}}${\displaystyle G=\{e\}} oder mancher unendlicher Gruppen wie der Prüfergruppe, setzt man ${\displaystyle \Phi (G):=G}${\displaystyle \Phi (G):=G}.^[3]

• Die Frattinigruppe ist eine charakteristische Untergruppe, also insbesondere ein Normalteiler.
• Ist ${\displaystyle G}${\displaystyle G} endlich, dann ist ${\displaystyle \Phi (G)}${\displaystyle \Phi (G)} nilpotent. Ist ${\displaystyle G/\Phi (G)}${\displaystyle G/\Phi (G)} ebenfalls nilpotent, dann ist auch ${\displaystyle G}${\displaystyle G} nilpotent.
• Gilt ${\displaystyle G=H\Phi (G)}${\displaystyle G=H\Phi (G)} mit einer Untergruppe ${\displaystyle H}${\displaystyle H} von ${\displaystyle G}${\displaystyle G}, dann ist ${\displaystyle G=H}${\displaystyle G=H}.
• Die Frattinigruppe besteht genau aus den Nichterzeugern von ${\displaystyle G}${\displaystyle G}, d. h., es gilt ${\displaystyle x\in \Phi (G)}${\displaystyle x\in \Phi (G)} genau dann, wenn für jede Teilmenge ${\displaystyle E\subseteq G}${\displaystyle E\subseteq G} aus ${\displaystyle G=\langle E,x\rangle }${\displaystyle G=\langle E,x\rangle } stets ${\displaystyle G=\langle E\rangle }${\displaystyle G=\langle E\rangle } folgt. Mit anderen Worten: Die Elemente der Frattinigruppe sind in jedem Erzeugendensystem von ${\displaystyle G}${\displaystyle G} überflüssig.

• Bertram Huppert: Endliche Gruppen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Bd. 134). Band 1. Nachdruck. Springer, Berlin u. a. 1979, ISBN 3-540-03825-6, Kapitel III.

1. ↑ Giovanni Frattini: Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni. In: Atti della Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti. Serie 4, Bd. 1, Fasc. 9, 1884/1885 (1885), ISSN 0001-4435 , S. 281–285; Nota II. In: Serie 4, Bd. 1, Fasc. 14, 1885, S. 455–457.
2. ↑ Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einführung. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-60331-X, S. 98.
3. ↑ Marshall Hall: The Theory of Groups. The Macmillan Company, New York NY 1959, S. 157. 

• Untergruppe