Diedergruppe

In der Gruppentheorie ist die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}${\displaystyle D_{n}} als semidirektes Produkt ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rtimes _{g\mapsto g^{-1}}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rtimes _{g\mapsto g^{-1}}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } erklärt (siehe unten) und enthält daher genau ${\displaystyle 2n}${\displaystyle 2n} Elemente. Für ${\displaystyle n\geq 3}${\displaystyle n\geq 3} ist diese Gruppe isomorph zur Isometriegruppe eines regelmäßigen Polygons in der Ebene. Sie ist dann nicht-abelsch und enthält ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Drehungen und ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Achsenspiegelungen. Ihr Name leitet sich vom Wort Dieder (Silbentrennung: Di-eder, Aussprache [diˈeːdɐ ]) (griechisch: Zweiflächner) für regelmäßige ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-Ecke ab. Diese Gruppen treten häufig in der Geometrie und Gruppentheorie auf, werden von zwei Spiegelungen (Elementen der Ordnung ${\displaystyle 2}${\displaystyle 2}) erzeugt und sind damit die einfachsten Beispiele von Coxeter-Gruppen.

Es gibt für Diedergruppen zwei abweichende Bezeichnungen. In der Geometrie schreibt man üblicherweise ${\displaystyle D_{n}}${\displaystyle D_{n}}, um den Zusammenhang mit dem regelmäßigen ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-Eck zu unterstreichen. In der Gruppentheorie schreibt man oft auch ${\displaystyle D_{2n}}${\displaystyle D_{2n}}, um stattdessen die Ordnung ${\displaystyle 2n}${\displaystyle 2n} hervorzuheben. Diese Zweideutigkeit lässt sich jedoch leicht durch eine erläuternde Ergänzung beheben. In diesem Artikel steht ${\displaystyle D_{n}}${\displaystyle D_{n}} für die Diedergruppe mit ${\displaystyle 2n}${\displaystyle 2n} Elementen.

Die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}${\displaystyle D_{n}} kann für ${\displaystyle n\geq 3}${\displaystyle n\geq 3} als die Isometriegruppe eines regelmäßigen ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-Ecks in der Ebene definiert werden. Diese besteht aus ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Drehungen und ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Spiegelungen, hat also insgesamt ${\displaystyle 2n}${\displaystyle 2n} Elemente. Die Isometrien bezeichnet man auch als Symmetrietransformationen. Als Verknüpfung der Gruppe ${\displaystyle D_{n}}${\displaystyle D_{n}} dient die Hintereinanderausführung von Symmetrietransformationen.

In den Fällen ${\displaystyle n=1}${\displaystyle n=1} und ${\displaystyle n=2}${\displaystyle n=2} führt die geometrische Definition jedoch zu anderen Gruppen. Daher ist hier die algebraische Definition über das semidirekte Produkt ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } vorzuziehen (dabei ist in dem semidirekten Produkt die Operation von ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } auf ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } durch Inversion gegeben). Diese algebraische Definition gilt für alle ${\displaystyle n\geq 1}${\displaystyle n\geq 1}.

Ein Beispiel ist die Diedergruppe ${\displaystyle D_{3}}${\displaystyle D_{3}} der Kongruenzabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks auf sich, die isomorph zur symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{3}}${\displaystyle S_{3}} ist. ${\displaystyle D_{4}}${\displaystyle D_{4}} ist entsprechend die Symmetriegruppe des Quadrats unter Spiegelungen und Drehungen.

${\displaystyle D_{2}}${\displaystyle D_{2}} ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und ist die Symmetriegruppe (bestehend nur aus den beiden Spiegelungen, der Drehung um 180° und der Identität) von den vier Ecken eines Quadrats, bei dem nur die rechte und linke Seite eingezeichnet sind (also zwei Zweiecke). ${\displaystyle D_{1}}${\displaystyle D_{1}} ist die Symmetriegruppe eines Zweiecks.

${\displaystyle D_{2}}${\displaystyle D_{2}} ist auch die Symmetriegruppe eines nicht gleichseitigen Rechtecks oder einer nicht gleichwinkligen Raute. ${\displaystyle D_{1}}${\displaystyle D_{1}} ist auch die Symmetriegruppe eines gleichschenkligen Dreiecks, das nicht gleichseitig ist.

Die folgende Grafik illustriert die Diedergruppe ${\displaystyle D_{8}}${\displaystyle D_{8}} anhand der Drehungen und Spiegelungen eines Stoppschildes: Die erste Zeile zeigt die acht Drehungen, die zweite Zeile die acht Spiegelungen.

Wir betrachten ein ebenes regelmäßiges ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-Eck. Seinen Mittelpunkt wählen wir als Nullpunkt ${\displaystyle O}${\displaystyle O} eines Koordinatensystems, irgendeine seiner ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Symmetrieachsen als ${\displaystyle x}${\displaystyle x}-Achse und die Normale dazu (in üblicher Orientierung, sodass sich ein Rechtssystem ergibt) als ${\displaystyle y}${\displaystyle y}-Achse. Die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}${\displaystyle D_{n}} lässt sich dann leicht als Matrixgruppe darstellen. Hierzu sei ${\displaystyle r_{k}}${\displaystyle r_{k}} die Drehung um ${\displaystyle O}${\displaystyle O} um den Winkel ${\displaystyle \alpha _{k}:=k\cdot 2\pi /n}${\displaystyle \alpha _{k}:=k\cdot 2\pi /n} und ${\displaystyle s_{k}}${\displaystyle s_{k}} die Spiegelung an der Geraden durch ${\displaystyle O}${\displaystyle O}, die im Winkel ${\displaystyle \alpha _{k}/2=k\cdot \pi /n}${\displaystyle \alpha _{k}/2=k\cdot \pi /n} gegenüber der positiven ${\displaystyle x}${\displaystyle x}-Achse geneigt ist. Als Matrizen schreiben sich diese Transformationen dann so:

${\displaystyle r_{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha _{k})&-\sin(\alpha _{k})\\\sin(\alpha _{k})&\cos(\alpha _{k})\end{pmatrix}}\qquad {\text{und}}\qquad s_{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha _{k})&\sin(\alpha _{k})\\\sin(\alpha _{k})&-\cos(\alpha _{k})\end{pmatrix}}}${\displaystyle r_{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha _{k})&-\sin(\alpha _{k})\\\sin(\alpha _{k})&\cos(\alpha _{k})\end{pmatrix}}\qquad {\text{und}}\qquad s_{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha _{k})&\sin(\alpha _{k})\\\sin(\alpha _{k})&-\cos(\alpha _{k})\end{pmatrix}}}

Hierbei fallen folgende Relationen auf:

• ${\displaystyle r_{k+n}=r_{k}}${\displaystyle r_{k+n}=r_{k}} und ${\displaystyle s_{k+n}=s_{k}}${\displaystyle s_{k+n}=s_{k}}. Daher können wir uns auf ${\displaystyle k=0,1,2,\dotsc ,n-1}${\displaystyle k=0,1,2,\dotsc ,n-1} beschränken.
• ${\displaystyle r_{0}}${\displaystyle r_{0}}, die Drehung um den Winkel ${\displaystyle 0}${\displaystyle 0}, ist die Identität.
• ${\displaystyle r_{1}}${\displaystyle r_{1}} ist die Drehung um den Winkel ${\displaystyle 2\pi /n}${\displaystyle 2\pi /n} und es gilt ${\displaystyle r_{k}=r_{1}^{k}}${\displaystyle r_{k}=r_{1}^{k}} für alle ${\displaystyle k}${\displaystyle k}.
• ${\displaystyle s_{0}}${\displaystyle s_{0}} ist die Spiegelung an der ${\displaystyle x}${\displaystyle x}-Achse und es gilt ${\displaystyle s_{k}=r_{k}s_{0}}${\displaystyle s_{k}=r_{k}s_{0}} für alle ${\displaystyle k}${\displaystyle k}.

Wenn ${\displaystyle n}${\displaystyle n} ungerade ist, dann verläuft jede der ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Spiegelachsen durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Für gerades ${\displaystyle n}${\displaystyle n} gibt es hingegen zwei Arten von Spiegelachsen, durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder durch zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte.

In dieser Darstellung schreiben sich zum Beispiel die acht Elemente der Diedergruppe ${\displaystyle D_{4}}${\displaystyle D_{4}} wie folgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{0}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\0円&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{1}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\1円&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{2}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\0円&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{3}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\s_{0}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\0円&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{1}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\1円&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{2}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\0円&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{3}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}r_{0}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\0円&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{1}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\1円&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{2}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\0円&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&r_{3}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\s_{0}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\0円&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{1}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\1円&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{2}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\0円&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&s_{3}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{aligned}}}

Diese Drehungen und Spiegelungen lassen sich bildlich wie folgt darstellen:

Betrachten wir zunächst als Beispiel die Diedergruppe ${\displaystyle D_{4}}${\displaystyle D_{4}}. Diese operiert durch Symmetrietransformationen auf einem Quadrat wie in der vorangehenden Grafik gezeigt. Betrachtet man die Aktion der Diedergruppe ${\displaystyle D_{4}}${\displaystyle D_{4}} auf den Eckpunkten ${\displaystyle 1,2,3,4}${\displaystyle 1,2,3,4}, erhält man eine treue Darstellung in die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{4}}${\displaystyle S_{4}}, also einen injektiven Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \tau \colon D_{4}\to S_{4}}${\displaystyle \tau \colon D_{4}\to S_{4}}. Genauer gesagt wirken die Transformationen auf den Ecken als folgende Permutationen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau (r_{0})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\1円&2&3&4\end{smallmatrix}}\right),\ &\tau (r_{1})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\2円&3&4&1\end{smallmatrix}}\right),\ &\tau (r_{2})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\3円&4&1&2\end{smallmatrix}}\right),\ &\tau (r_{3})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\4円&1&2&3\end{smallmatrix}}\right)\\\tau (s_{0})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\4円&3&2&1\end{smallmatrix}}\right),\ &\tau (s_{1})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\3円&2&1&4\end{smallmatrix}}\right),\ &\tau (s_{2})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\2円&1&4&3\end{smallmatrix}}\right),\ &\tau (s_{3})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\1円&4&3&2\end{smallmatrix}}\right)\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}\tau (r_{0})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\1円&2&3&4\end{smallmatrix}}\right),\ &\tau (r_{1})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\2円&3&4&1\end{smallmatrix}}\right),\ &\tau (r_{2})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\3円&4&1&2\end{smallmatrix}}\right),\ &\tau (r_{3})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\4円&1&2&3\end{smallmatrix}}\right)\\\tau (s_{0})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\4円&3&2&1\end{smallmatrix}}\right),\ &\tau (s_{1})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\3円&2&1&4\end{smallmatrix}}\right),\ &\tau (s_{2})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\2円&1&4&3\end{smallmatrix}}\right),\ &\tau (s_{3})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\1円&4&3&2\end{smallmatrix}}\right)\end{aligned}}}

Ganz allgemein definiert die Operation der Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}${\displaystyle D_{n}} auf den Eckpunkten ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dotsc ,P_{n}}${\displaystyle P_{1},P_{2},\dotsc ,P_{n}} eine treue Darstellung ${\displaystyle \tau \colon D_{n}\to S_{n}}${\displaystyle \tau \colon D_{n}\to S_{n}}. In obiger Notation erhält man zum Beispiel die Permutation

${\displaystyle \tau (r_{1})=(1,2,3,\dotsc ,n).}${\displaystyle \tau (r_{1})=(1,2,3,\dotsc ,n).}

In Zyklenschreibweise ist dies die zyklische Permutation, die ${\displaystyle P_{1}}${\displaystyle P_{1}} auf ${\displaystyle P_{2}}${\displaystyle P_{2}} abbildet, ${\displaystyle P_{2}}${\displaystyle P_{2}} auf ${\displaystyle P_{3}}${\displaystyle P_{3}} und so weiter, bis schließlich ${\displaystyle P_{n}}${\displaystyle P_{n}} auf ${\displaystyle P_{1}}${\displaystyle P_{1}} abgebildet wird. Die weiteren Drehungen erhält man hieraus mittels der Relation ${\displaystyle r_{k}=r_{1}^{k}}${\displaystyle r_{k}=r_{1}^{k}} für alle ${\displaystyle k}${\displaystyle k}. Für die Spiegelung an der Symmetrieachse durch ${\displaystyle P_{n}}${\displaystyle P_{n}} erhält man entsprechend in Zyklenschreibweise

${\displaystyle \tau (s_{1})=(1,n-1)(2,n-2)\dots \left({\bigl \lfloor }{\tfrac {n-1}{2}}{\bigl \rfloor },{\bigl \lfloor }{\tfrac {n+2}{2}}{\bigl \rfloor }\right)}${\displaystyle \tau (s_{1})=(1,n-1)(2,n-2)\dots \left({\bigl \lfloor }{\tfrac {n-1}{2}}{\bigl \rfloor },{\bigl \lfloor }{\tfrac {n+2}{2}}{\bigl \rfloor }\right)}

mit der Gaußschen Ganzteilfunktion ${\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }${\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor } (die jeder reellen Zahl ${\displaystyle x}${\displaystyle x} die größte ganze Zahl zuordnet, die nicht größer als ${\displaystyle x}${\displaystyle x} ist). Die weiteren Spiegelungen erhält man hieraus mittels der Relation ${\displaystyle s_{k+1}=r_{k}s_{1}}${\displaystyle s_{k+1}=r_{k}s_{1}} für alle ${\displaystyle k}${\displaystyle k} (mit ${\displaystyle s_{4}=s_{0}}${\displaystyle s_{4}=s_{0}}).

Alle ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Drehungen werden von ${\displaystyle r=r_{1}}${\displaystyle r=r_{1}} erzeugt. Diese bilden eine zyklische Untergruppe der Ordnung ${\displaystyle n}${\displaystyle n} und demnach von Index ${\displaystyle 2}${\displaystyle 2}. Man erhält die gesamte Gruppe durch Hinzufügen einer beliebigen Spiegelung, zum Beispiel ${\displaystyle s=s_{0}}${\displaystyle s=s_{0}}, und so die Präsentation

${\displaystyle D_{n}=\left\langle r,s\mid r^{n}=s^{2}=\ srsr=e\right\rangle ,}${\displaystyle D_{n}=\left\langle r,s\mid r^{n}=s^{2}=\ srsr=e\right\rangle ,}

wobei ${\displaystyle e}${\displaystyle e} das neutrale Element der Gruppe ist.

Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Drehung. Ist der Winkel zwischen den beiden Spiegelachsen ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha }, so ist diese Verkettung eine Drehung um den Winkel ${\displaystyle 2\alpha }${\displaystyle 2\alpha }. Das bedeutet, dass die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}${\displaystyle D_{n}} von zwei benachbarten Spiegelungen, zum Beispiel ${\displaystyle s_{0}}${\displaystyle s_{0}} und ${\displaystyle s_{1}}${\displaystyle s_{1}}, erzeugt wird. Man erhält so die Präsentation

${\displaystyle D_{n}=\left\langle s_{0},s_{1}\mid s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=(s_{0}s_{1})^{n}=e\right\rangle .}${\displaystyle D_{n}=\left\langle s_{0},s_{1}\mid s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=(s_{0}s_{1})^{n}=e\right\rangle .}

Dies ist der einfachste Fall einer Coxeter-Gruppe.

Für alle Indizes ${\displaystyle i}${\displaystyle i} und ${\displaystyle j}${\displaystyle j} gilt außerdem:

1. ${\displaystyle r_{i}r_{j}=r_{i+j}}${\displaystyle r_{i}r_{j}=r_{i+j}}
2. ${\displaystyle r_{i}s_{j}=s_{i+j}}${\displaystyle r_{i}s_{j}=s_{i+j}}
3. ${\displaystyle s_{i}r_{j}=s_{i-j}}${\displaystyle s_{i}r_{j}=s_{i-j}}
4. ${\displaystyle s_{i}s_{j}=r_{i-j}}${\displaystyle s_{i}s_{j}=r_{i-j}}

Dabei werden die Indizes jeweils modulo ${\displaystyle n}${\displaystyle n} betrachtet (${\displaystyle r_{i+n}=r_{i}}${\displaystyle r_{i+n}=r_{i}} und ${\displaystyle s_{i+n}=s_{i}}${\displaystyle s_{i+n}=s_{i}}).

Diedergruppen sind die einfachsten Beispiele von Spiegelungsgruppen. Diese spielen in der klassischen Geometrie eine wichtige Rolle, zum Beispiel bei der Klassifikation der regulären Polyeder. In Dimension ${\displaystyle 2}${\displaystyle 2} entsprechen hier Diedergruppen den regulären Polygonen.

Die durch obige Permutationen definierte Zahlenverknüpfung wird bei Prüfsummenverfahren als Alternative zu diversen modulo-basierten Verfahren angewendet. Zum Beispiel besaßen die deutschen Banknoten Dieder-Prüfsummen.^[1]

• Unendliche Diedergruppe

• Eric W. Weisstein: Dihedral Group. In: MathWorld (englisch).
• Stephan-Brumme.com: Der Geldscheintester.

1. ↑ Jörg Michael: Blütenrein. Prüfziffernverfahren auf der Basis von Diedergruppen. In: c’t 4/1997. S. 448.

• Endliche Gruppe