Diskussion:Bernoullische Ungleichung

Wo liegt der praktische Nutzen der Bernoullischen Ungleichung? Mit praktisch meine ich industriell einsetzbar.

lol --77.2.139.135 14:33, 5. Okt. 2012 (CEST) Beantworten

Ich hatte in Mathe Unterkurs. Bitte erläutern! --134.100.1.174 15:31, 26. Aug 2004 (CEST)

Es gilt außerdem noch die Abschätzung ${\displaystyle x\geq 0\Longrightarrow \;(1+x)^{n}\geq 1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}}${\displaystyle x\geq 0\Longrightarrow \;(1+x)^{n}\geq 1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}} (denn: Offensichtlich für ${\displaystyle n=1}${\displaystyle n=1}, und gilt sie für ${\displaystyle n}${\displaystyle n}, dann gilt auch ${\displaystyle {\begin{matrix}(1+x)^{n+1}&=&(1+x)(1+x)^{n}\\&\geq &(1+x)\left(1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}\right)\\&=&1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}+x+nx^{2}+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{3}\\&=&1+(n+1)x+\left({\frac {n(n-1)}{2}}+n\right)x^{2}+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{3}\\&=&1+(n+1)x+{\frac {(n+1)n}{2}}x^{2}+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{3}\\&\geq &1+(n+1)x+{\frac {(n+1)n}{2}}x^{2}\\\end{matrix}}}${\displaystyle {\begin{matrix}(1+x)^{n+1}&=&(1+x)(1+x)^{n}\\&\geq &(1+x)\left(1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}\right)\\&=&1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}+x+nx^{2}+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{3}\\&=&1+(n+1)x+\left({\frac {n(n-1)}{2}}+n\right)x^{2}+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{3}\\&=&1+(n+1)x+{\frac {(n+1)n}{2}}x^{2}+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{3}\\&\geq &1+(n+1)x+{\frac {(n+1)n}{2}}x^{2}\\\end{matrix}}}.)

Und ${\displaystyle x\in [-1,0]\Longrightarrow \;(1+x)^{n}\leq 1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}}${\displaystyle x\in [-1,0]\Longrightarrow \;(1+x)^{n}\leq 1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}} (analog). (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 84.166.16.93 (Diskussion • Beiträge) 21:55, 10. Feb 2006)

Für ${\displaystyle x\geq 0}${\displaystyle x\geq 0} folgt sogar noch mehr aus dem binomischen Satz. Die Stärke von Bernoulli liegt ohnehin eher darin, dass die Ungleichung eine einfache Form hat, besonders scharf ist die Ungleichung nicht.--Gunther 22:01, 10. Feb 2006 (CET)

Ich zweifle an der richtigkeit des beispiels. Es muss doch heißen: 1+e^x≥... oder liege ich da falsch???

Schreib bitte die ganze Ungleichung hin. Was soll nicht richtig sein? --NeoUrfahraner 17:15, 12. Okt. 2006 (CEST) Beantworten

Wäre es möglich an dieser Stelle auch die Verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung zu behandeln ? Sei -1<x ungleich null. Dann ist : (1+x)^a > 1+ax für a>1 oder a<0 (1+x)^a < 1+ax für 0<a<1

Quelle : http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/var/PU2.html#pu12

Mir ist nicht ganz klar, wieso bei der strikten Fassung der Bernoulli-Ungleichung x > -1 vorausgesetzt werden muss, im Unterschied zu x ≥ -1 bei der allgemeineren Formulierung der Ungleichung mit "größergleich". Ich habe diese zusätzliche Bedingung auch in mehreren Büchern (z.B. Arens: Grundwissen Mathematikstudium, Heuser: Analysis 1) vorgefunden, sehe aber nicht ihre Notwendigkeit: Denn für x ≠ 0, n ≥ 2 und h=-1 ist

(1+(-1))^n = 0^n = 0 > 1+ n(-1)=1-n ⇔ n>1,

was ja wegen n ≥ 2 wahr ist. Also kann man doch genauso gut bei der strikten Bernoulli-Ungleichung das x ≥ -1 stehen lassen und nur zusätzlich x ≠ 0 und n ≥ 2 fordern. Man muss sich dann nicht nur weniger merken, sondern macht es sich eventuell bei manchen Beweisen leichter.

Allerdings lässt sich dann, ohne den Fall x = -1 auszuschließen, der Beweis der strikten BU nicht durch vollständige Induktion nach dem gleichen Muster wie der Beweis der allgemeinen BU führen, da man ja sonst, wegen 1+x=0 einen Faktor null auf beiden Seiten der Ungleichung hätte. Was spricht aber dagegen den sehr einfachen Fall x=-1, wie hier geschehen, einfach separat zu behandeln?--FChopin (Diskussion) 21:28, 24. Sep. 2017 (CEST) Beantworten