Deformationsinvarianten

Die Deformationsinvarianten ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}} bezeichnen in der Kontinuumsmechanik die drei Hauptinvarianten des rechten oder linken Cauchy-Green Deformationstensors. Sie stellen die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms bei Hauptachsentransformation des Strecktensors dar. Gleichzeitig lassen sie sich nach dem Satz von Vieta auch durch die Hauptstreckungen ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}} ausdrücken:

${\displaystyle {\begin{array}{lclcl}I_{1}&=&\mathrm {Spur} (\mathbf {b} )&=&\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&=&\mathrm {Spur} (\mathbf {b} ^{-1}),円\det(\mathbf {b} )&=&\lambda _{1}^{2},円\lambda _{2}^{2}+\lambda _{1}^{2},円\lambda _{3}^{2}+\lambda _{2}^{2},円\lambda _{3}^{2}\\I_{3}&=&\det(\mathbf {b} )&=&\lambda _{1}^{2},円\lambda _{2}^{2},円\lambda _{3}^{2}\end{array}}}${\displaystyle {\begin{array}{lclcl}I_{1}&=&\mathrm {Spur} (\mathbf {b} )&=&\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&=&\mathrm {Spur} (\mathbf {b} ^{-1}),円\det(\mathbf {b} )&=&\lambda _{1}^{2},円\lambda _{2}^{2}+\lambda _{1}^{2},円\lambda _{3}^{2}+\lambda _{2}^{2},円\lambda _{3}^{2}\\I_{3}&=&\det(\mathbf {b} )&=&\lambda _{1}^{2},円\lambda _{2}^{2},円\lambda _{3}^{2}\end{array}}}

mit

• ${\displaystyle \mathbf {b} }${\displaystyle \mathbf {b} } der Deformationstensor
• ${\displaystyle \mathrm {Spur} (\mathbf {b} )}${\displaystyle \mathrm {Spur} (\mathbf {b} )} der Spur des Deformationstensors,
• ${\displaystyle \det(\mathbf {b} )}${\displaystyle \det(\mathbf {b} )} der Determinante des Deformationstensors,
• ${\displaystyle \mathbf {b} ^{-1}}${\displaystyle \mathbf {b} ^{-1}} der Inversen des Deformationstensors und
• ${\displaystyle \lambda _{1,2,3}^{2}=\eta _{1,2,3}}${\displaystyle \lambda _{1,2,3}^{2}=\eta _{1,2,3}} der Eigenwerte des Deformationstensors.

Obige Zusammenhänge gelten für den linken Cauchy-Green Tensor ${\displaystyle \mathbf {b} :=\mathbf {F\cdot F^{\top }} }${\displaystyle \mathbf {b} :=\mathbf {F\cdot F^{\top }} } und den rechten Cauchy-Green Tensor ${\displaystyle \mathbf {C} :=\mathbf {F^{\top }\cdot F} }${\displaystyle \mathbf {C} :=\mathbf {F^{\top }\cdot F} }, denn beide Tensoren haben wegen

${\displaystyle \mathbf {b} \cdot {\vec {v}}=\eta {\vec {v}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {F^{\top }\cdot b} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {F^{\top }\cdot F\cdot F^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {C\cdot (F^{\top }} \cdot {\vec {v}})=\eta (\mathbf {F^{\top }} \cdot {\vec {v}})}${\displaystyle \mathbf {b} \cdot {\vec {v}}=\eta {\vec {v}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {F^{\top }\cdot b} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {F^{\top }\cdot F\cdot F^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {C\cdot (F^{\top }} \cdot {\vec {v}})=\eta (\mathbf {F^{\top }} \cdot {\vec {v}})}

dieselben Eigenwerte und damit auch dieselben Invarianten, was sie einander mathematisch ähnlich macht. Der Tensor F ist der Deformationsgradient. Gleiches gilt für die symmetrischen, positiv definiten, rechten und linken Deformationstensoren U bzw. v, die sich gemäß

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R\cdot U} =\mathbf {v\cdot R} .}${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R\cdot U} =\mathbf {v\cdot R} .}

aus der Polarzerlegung des Deformationsgradienten ergeben, siehe Bild. Darin ist R ein eigentlich orthogonaler Tensor mit den Eigenschaften R^T · R = 1 und det(R) = +1 (1 ist der Einheitstensor.) Der rechte und linke Deformationstensor haben wegen

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {b} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {F\cdot F^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {v\cdot R\cdot R^{\top }\cdot v^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\lambda \mathbf {v} \cdot {\vec {v}}=\lambda ^{2}{\vec {v}}}${\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {b} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {F\cdot F^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {v\cdot R\cdot R^{\top }\cdot v^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\lambda \mathbf {v} \cdot {\vec {v}}=\lambda ^{2}{\vec {v}}}

die Hauptstreckungen λ_1,2,3 als Eigenwerte, denn sie sind ebenfalls einander ähnlich:

${\displaystyle \mathbf {R^{\top }\cdot v} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {R^{\top }\cdot v\cdot R\cdot R^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {R^{\top }\cdot R\cdot U\cdot R^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {U\cdot (R^{\top }} \cdot {\vec {v}})=\lambda (\mathbf {R^{\top }} \cdot {\vec {v}}).}${\displaystyle \mathbf {R^{\top }\cdot v} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {R^{\top }\cdot v\cdot R\cdot R^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {R^{\top }\cdot R\cdot U\cdot R^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {U\cdot (R^{\top }} \cdot {\vec {v}})=\lambda (\mathbf {R^{\top }} \cdot {\vec {v}}).}

Weil der Deformationsgradient immer und überall invertierbar ist, sind dies die Strecktensoren auch.

Die dritte Invariante stellt gleichzeitig das Quadrat des Volumenverhältnisses ${\displaystyle J:=\operatorname {det} (\mathbf {F} )}${\displaystyle J:=\operatorname {det} (\mathbf {F} )} dar:

${\displaystyle I_{3}(\mathbf {b} )=I_{3}(\mathbf {C} )=J^{2}=I_{3}^{2}(\mathbf {v} )=I_{3}^{2}(\mathbf {U} ).}${\displaystyle I_{3}(\mathbf {b} )=I_{3}(\mathbf {C} )=J^{2}=I_{3}^{2}(\mathbf {v} )=I_{3}^{2}(\mathbf {U} ).}

Bei Inkompressibilität im Werkstoffverhalten (${\displaystyle J=1}${\displaystyle J=1}) bleibt also die dritte Invariante der Strecktensoren gleich der Identität.

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 

• Kontinuumsmechanik