Bonferroni-Korrektur

Die Bonferroni-Korrektur ist ein Verfahren der mathematischen Statistik zur Adjustierung der Signifikanzniveaus der Einzeltests bei multiplen Testen, um der Alphafehler-Kumulierung entgegenzuwirken und für die Durchschnittshypothese ein vorgegebenes Signifikanzniveau einzuhalten. Die Adjustierung vermindert die Signifikanzniveaus der Einzeltests und damit tendenziell die Anzahl der Ablehnungen richtiger Nullhypothesen (falsch-positiver Befunde in biometrischer Terminologie), so dass die verbleibenden Ablehnungen von Nullhypothesen mit einer höheren statistischen Signifikanz verbunden sind. Die Bonferroni-Methode (nach Carlo Emilio Bonferroni) umfasst neben der Bonferroni-Korrektur ein ähnliches Vorgehen zur Anpassung der Konfidenzniveaus bei der Konstruktion simultaner Konfidenzintervalle für einen mehrdimensionalen Parametervektor.

Zu ${\displaystyle k\geq 2}${\displaystyle k\geq 2} statistischen Tests mit den Nullhypothesen ${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{k}}${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{k}} kann die Durchschnittshypothese ${\displaystyle H_{0}=\cap _{j=1}^{k}H_{j}}${\displaystyle H_{0}=\cap _{j=1}^{k}H_{j}} gebildet werden. Die Hypothesen ${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{k}}${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{k}} heißen in diesem Zusammenhang Elementarhypothesen und ${\displaystyle H_{0}}${\displaystyle H_{0}} heißt Globalhypothese. Ein Test für die Nullhypothese ${\displaystyle H_{0}}${\displaystyle H_{0}} kann auf den Tests für die einzelnen Elementarhypothesen aufgebaut werden, da die Nullhypothese ${\displaystyle H_{0}}${\displaystyle H_{0}} genau dann falsch ist, wenn mindestens eine der Elementarhypothesen falsch ist. Eine mögliche Testprozedur besteht also darin, ${\displaystyle H_{0}}${\displaystyle H_{0}} genau dann abzulehnen, wenn mindestens eine der Hypothesen ${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{k}}${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{k}} abgelehnt wird. Ein vorgegebenes globales Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha _{\text{global}}\in (0,1)}${\displaystyle \alpha _{\text{global}}\in (0,1)} für den Test von ${\displaystyle H_{0}}${\displaystyle H_{0}} kann im Allgemeinen nicht eingehalten werden, wenn dieses als Signifikanzniveau für jeden der Einzeltests verwendet wird, da es dann zur so genannten Alphafehler-Kumulierung kommen kann.

Um das gewünschte globale Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha _{\text{global}}\in (0,1)}${\displaystyle \alpha _{\text{global}}\in (0,1)} für den Test der Globalhypothese ${\displaystyle H_{0}}${\displaystyle H_{0}} einzuhalten, besteht die Bonferroni-Korrektur darin, für die einzelnen Tests das lokale Signifikanzniveau

${\displaystyle \alpha _{\text{lokal}}={\frac {\alpha _{\text{global}}}{k}}}${\displaystyle \alpha _{\text{lokal}}={\frac {\alpha _{\text{global}}}{k}}}

vorzugeben. Die so angepassten Signifikanzniveaus

${\displaystyle \alpha _{j}=\alpha _{\text{lokal}}\quad {\text{für }}j=1,\dots ,k}${\displaystyle \alpha _{j}=\alpha _{\text{lokal}}\quad {\text{für }}j=1,\dots ,k}

für die Einzeltests werden auch adjustierte Signifikanzniveaus genannt. Die Verwendung der adjustierten Signifikanzniveaus führt dazu, das für den Test der Globalhypothese das Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha _{\text{global}}}${\displaystyle \alpha _{\text{global}}} gültig ist.

Bei einer klassischen Testdurchführung erfolgt die Ablehnung einer Nullhypothese, falls eine Teststatistik im Ablehnbereich (kritischen Bereich) liegt, der vom vorgegebenen Signifikanzniveau abhängt. Bei einer ${\displaystyle p}${\displaystyle p}-Wert-basierten Testdurchführung, die typisch für die Anwendung statistischer Software ist, wird ein berechneter ${\displaystyle p}${\displaystyle p}-Wert mit dem vorgegebenen Signifikanzniveau verglichen und die Nullhypothese wird abgelehnt, falls der ${\displaystyle p}${\displaystyle p}-Wert kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau ist.

Bei einer ${\displaystyle p}${\displaystyle p}-Wert-basierten Testdurchführung wird die Bonferroni-Korrektur durchgeführt, indem die ${\displaystyle p}${\displaystyle p}-Werte der Einzeltests mit den adjustierten Signifikanzniveaus verglichen werden, dabei wird die ${\displaystyle j}${\displaystyle j}-te Nullhypothese abgelehnt, falls ${\displaystyle p_{j}<\alpha _{\text{lokal}}}${\displaystyle p_{j}<\alpha _{\text{lokal}}} gilt.

Alternativ können adjustierte ${\displaystyle p}${\displaystyle p}-Werte

${\displaystyle p_{j}^{*}=p_{j}\cdot k,\quad j=1,\dots ,k}${\displaystyle p_{j}^{*}=p_{j}\cdot k,\quad j=1,\dots ,k}

für die Einzeltests gebildet werden, die um den Faktor ${\displaystyle k}${\displaystyle k} größer sind als die ursprünglichen ${\displaystyle p}${\displaystyle p}-Werte, und diese mit dem globalen Signifikanzniveau verglichen werden. Die ${\displaystyle j}${\displaystyle j}-te Nullhypothese wird abgelehnt, falls ${\displaystyle p_{j}^{*}<\alpha _{\text{global}}}${\displaystyle p_{j}^{*}<\alpha _{\text{global}}} gilt.

Beide Vorgehensweisen führen zu denselben Testentscheidungen, da die beiden Regeln ${\displaystyle p_{j}<\alpha _{\text{lokal}}}${\displaystyle p_{j}<\alpha _{\text{lokal}}} und ${\displaystyle p_{j}^{*}<\alpha _{\text{global}}}${\displaystyle p_{j}^{*}<\alpha _{\text{global}}} äquivalent sind.

Gegeben seien die p-Werte ${\displaystyle p_{1}=0{,}01,p_{2}=0{,}04,p_{3}=0{,}1}${\displaystyle p_{1}=0{,}01,p_{2}=0{,}04,p_{3}=0{,}1} dreier Hypothesentests, die eine Hypothesenfamilie bilden. Unter Vernachlässigung der multiplen Testung und alleiniger Betrachtung lokaler Signifikanzniveaus ${\displaystyle \alpha _{\text{lokal}}=0{,}05}${\displaystyle \alpha _{\text{lokal}}=0{,}05} erfolgt die Ablehnung der Nullhypothesen 1 und 2, da ${\displaystyle p_{1}<\alpha _{\text{lokal}}}${\displaystyle p_{1}<\alpha _{\text{lokal}}} und ${\displaystyle p_{2}<\alpha _{\text{lokal}}}${\displaystyle p_{2}<\alpha _{\text{lokal}}}, während die dritte Hypothese nicht abgelehnt wird, da ${\displaystyle p_{3}>\alpha _{\text{lokal}}}${\displaystyle p_{3}>\alpha _{\text{lokal}}}. Berücksichtigt man jedoch die Bonferroni-Korrektur (mit ${\displaystyle \alpha _{\text{global}}=0{,}05\implies \alpha _{\text{lokal}}=\alpha _{\text{global}}/3\approx 0{,}0166}${\displaystyle \alpha _{\text{global}}=0{,}05\implies \alpha _{\text{lokal}}=\alpha _{\text{global}}/3\approx 0{,}0166}), so erfolgt nur noch die Ablehnung der Nullhypothese 1, da ${\displaystyle p_{1}<\alpha _{\text{lokal}}}${\displaystyle p_{1}<\alpha _{\text{lokal}}} und ${\displaystyle p_{2}>\alpha _{\text{lokal}},p_{3}>\alpha _{\text{lokal}}}${\displaystyle p_{2}>\alpha _{\text{lokal}},p_{3}>\alpha _{\text{lokal}}}.

Die Globalhypothese ${\displaystyle H_{0}}${\displaystyle H_{0}} wird genau dann abgelehnt, wenn mindestens eine Elementarhypothesen abgelehnt wird. Das Ereignis ${\displaystyle \{H_{0}{\text{ wird abgelehnt}}\}}${\displaystyle \{H_{0}{\text{ wird abgelehnt}}\}} kann als Vereinigung der Ereignisse ${\displaystyle \{H_{j}{\text{ wird abgelehnt}}\}}${\displaystyle \{H_{j}{\text{ wird abgelehnt}}\}} für ${\displaystyle j=1,\dots ,k}${\displaystyle j=1,\dots ,k} dargestellt werden. Mit der ersten Bonferroni-Ungleichung, die auch Boolesche Ungleichung heißt, ergibt sich die Ungleichung

${\displaystyle P(H_{0}{\text{ wird abgelehnt}})=P\left(\bigcup _{j=1}^{k}\{H_{j}{\text{ wird abgelehnt}}\}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}P(H_{j}{\text{ wird abgelehnt}})\;.}${\displaystyle P(H_{0}{\text{ wird abgelehnt}})=P\left(\bigcup _{j=1}^{k}\{H_{j}{\text{ wird abgelehnt}}\}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}P(H_{j}{\text{ wird abgelehnt}})\;.}

Betrachtet man den Fall, dass ${\displaystyle H_{0}}${\displaystyle H_{0}} richtig ist, und damit auch die Hypothesen ${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{k}}${\displaystyle H_{1},\dots ,H_{k}} richtig sind, und beschränkt für diesen Fall die Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle P(H_{j}{\text{ wird abgelehnt}})}${\displaystyle P(H_{j}{\text{ wird abgelehnt}})}, die dann Fehlerwahrscheinlichkeiten 1. Art sind, jeweils durch das lokale Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha _{\text{lokal}}=\alpha _{\text{global}}/k}${\displaystyle \alpha _{\text{lokal}}=\alpha _{\text{global}}/k} nach oben, so ist ${\displaystyle P(H_{0}{\text{ wird abgelehnt}})}${\displaystyle P(H_{0}{\text{ wird abgelehnt}})} durch

${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}P(H_{j}{\text{ wird abgelehnt}})\leq \sum _{j=1}^{k}\alpha _{\text{lokal}}=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\alpha _{\text{global}}}{k}}=\alpha _{\text{global}}}${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}P(H_{j}{\text{ wird abgelehnt}})\leq \sum _{j=1}^{k}\alpha _{\text{lokal}}=\sum _{j=1}^{k}{\frac {\alpha _{\text{global}}}{k}}=\alpha _{\text{global}}}

nach oben beschränkt.

Die Bonferroni-Korrektur kann sehr konservativ sein. Deshalb wurden genauere Methoden entwickelt, die den ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha }-Fehler weniger konservativ kontrollieren und das Signifikanzniveau der multiplen Testprozedur weiter ausschöpfen (siehe Alphafehler-Kumulierung). Im Vergleich zur allgemein anwendbaren Bonferroni-Methode ergibt sich, allerdings nur unter einschränkenden Voraussetzungen, mit der Šidák-Korrektur ein verbessertes Verfahren.

• H. Abdi: Encyclopedia of Measurement and Statistics. Hrsg.: N. J. Salkind. Sage, Thousand Oaks, CA 2007, Bonferroni and Sidak corrections for multiple comparisons (utdallas.edu [PDF]). 

• Manitoba Centre for Health Policy (MCHP) 2003, Concept: Multiple Comparisons.
• Perneger, Thomas V, What's wrong with Bonferroni adjustments, BMJ 1998;316:1236-1238 (18. April).
• School of Psychology, University of New England, New South Wales, Australia, 2000.
• Eric W. Weisstein: Bonferroni Correction. In: MathWorld (englisch).

• Testtheorie