Benutzer:Tensorproduct/Sasonow-Topologie

Die Sasonow-Topologie ist in der Funktionalanalysis eine Topologie, welche durch eine Familie von Halbnormen auf einem lokalkonvexen Vektorraum erzeugt wird.

Sei ${\displaystyle p}${\displaystyle p} eine Halbnorm auf einem Vektorraum ${\displaystyle X}${\displaystyle X}, dann sei ${\displaystyle X_{p}:=X/p^{-1}(0)}${\displaystyle X_{p}:=X/p^{-1}(0)} der Quotientenvektorraum und

${\displaystyle Q_{p}:X\to X_{p}}${\displaystyle Q_{p}:X\to X_{p}} die kanonische Abbildung ${\displaystyle x\mapsto [x]}${\displaystyle x\mapsto [x]}

mit ${\displaystyle {\widetilde {X_{p}}}}${\displaystyle {\widetilde {X_{p}}}} definieren wir den Banach-Raum, welcher durch Vervollständigung von ${\displaystyle X_{p}}${\displaystyle X_{p}} erzeugt wird.

Sei ${\displaystyle (X,\tau )}${\displaystyle (X,\tau )} ein lokalkonvexer Raum. Sei ${\displaystyle {\mathcal {P}}}${\displaystyle {\mathcal {P}}} eine Familie von Halbnormen, deren Elemente ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}} folgendes erfüllen

1. ${\displaystyle p}${\displaystyle p} ist eine stetige Hilbert Halbnorm auf ${\displaystyle X}${\displaystyle X}, für welche es eine stetige Hilbert Halbnorm ${\displaystyle q}${\displaystyle q} gibt mit ${\displaystyle p(x)\leq q(x)}${\displaystyle p(x)\leq q(x)} für alle ${\displaystyle x\in X}${\displaystyle x\in X},
2. die kanonische Inklusion ${\displaystyle i_{p,q}\colon \Phi _{q}\to \Phi _{p}}${\displaystyle i_{p,q}\colon \Phi _{q}\to \Phi _{p}} ist Hilber-Schmidt.

Dann ist ${\displaystyle \tau }${\displaystyle \tau } die Sasonow-Topologie, falls sie durch die Familie von Seminormen erzeugt wird.