Annihilator (Mathematik)

Es gibt zwei Begriffsbildungen der Mathematik, die mit dem Wort Annullator (oder auch Annihilator) bezeichnet werden.

Der Annullatorraum ist eine Verallgemeinerung des orthogonalen Komplements auf Vektorräumen, in denen der Dualraum nicht über ein Skalarprodukt mit dem Raum selbst identifiziert werden kann.

Sei ${\displaystyle V}${\displaystyle V} ein Vektorraum, ${\displaystyle V^{*}}${\displaystyle V^{*}} der zugehörige Dualraum und ${\displaystyle S}${\displaystyle S} eine Teilmenge von ${\displaystyle V}${\displaystyle V}. Dann heißt

${\displaystyle S^{0}=\lbrace f\in V^{*}\mid f(x)=0{\text{ für alle }}x\in S\rbrace \subseteq V^{*}}${\displaystyle S^{0}=\lbrace f\in V^{*}\mid f(x)=0{\text{ für alle }}x\in S\rbrace \subseteq V^{*}}

der Annullator von ${\displaystyle S}${\displaystyle S}.

• ${\displaystyle S^{0}}${\displaystyle S^{0}} ist ein Untervektorraum des Dualraums ${\displaystyle V^{*}}${\displaystyle V^{*}}. Deshalb spricht man auch vom Annullatorraum.
• ${\displaystyle S^{0}=\langle S\rangle ^{0}}${\displaystyle S^{0}=\langle S\rangle ^{0}}, wobei ${\displaystyle \langle S\rangle }${\displaystyle \langle S\rangle } der von ${\displaystyle S}${\displaystyle S} erzeugte Unterraum ist.
• Ist ${\displaystyle S_{1}\subseteq S_{2}}${\displaystyle S_{1}\subseteq S_{2}}, so ist ${\displaystyle S_{1}^{0}\supseteq S_{2}^{0}}${\displaystyle S_{1}^{0}\supseteq S_{2}^{0}}.
• Ist ${\displaystyle V}${\displaystyle V} endlichdimensional und ${\displaystyle U}${\displaystyle U} ein Unterraum von ${\displaystyle V}${\displaystyle V}, so gilt ${\displaystyle \dim U^{0}=\dim V-\dim U}${\displaystyle \dim U^{0}=\dim V-\dim U}. In diesem Fall sind ${\displaystyle V}${\displaystyle V} und der Bidualraum ${\displaystyle V^{**}}${\displaystyle V^{**}} kanonisch isomorph und es gilt ${\displaystyle \left(U^{0}\right)^{0}=U}${\displaystyle \left(U^{0}\right)^{0}=U}, wobei ${\displaystyle V}${\displaystyle V} und ${\displaystyle V^{**}}${\displaystyle V^{**}} miteinander identifiziert worden sind.

Es sei ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ein Ring und ${\displaystyle M}${\displaystyle M} ein ${\displaystyle A}${\displaystyle A}-Linksmodul. Dann ist der Annullator von ${\displaystyle M}${\displaystyle M}

${\displaystyle \operatorname {Ann} M=\{a\in A\mid am=0{\text{ für alle }}m\in M\}.}${\displaystyle \operatorname {Ann} M=\{a\in A\mid am=0{\text{ für alle }}m\in M\}.}

Man kann den Annullator auch beschreiben als den Kern der Strukturabbildung

${\displaystyle A\to \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }M,a\mapsto \ell _{a}}${\displaystyle A\to \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }M,a\mapsto \ell _{a}}, wobei ${\displaystyle \ell _{a}:M\rightarrow M}${\displaystyle \ell _{a}:M\rightarrow M} die Linksmultiplikation mit ${\displaystyle a}${\displaystyle a} ist.

Der Annullator ist ein zweiseitiges Ideal in ${\displaystyle A}${\displaystyle A}.

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14., durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.

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