Abbildungsgrad
Der Abbildungsgrad ist ein Hilfsmittel der nichtlinearen Analysis, um die Existenz von Lösungen nichtlinearer Gleichungen {\displaystyle f(x)=y} nachzuweisen. Mit seiner Hilfe kann man beispielsweise den brouwerschen Fixpunktsatz, den Satz von Borsuk-Ulam oder den jordanschen Kurvensatz beweisen. Im Endlichdimensionalen (für stetige Funktionen) bezeichnet man ihn als brouwerschen Abbildungsgrad; seine Erweiterung auf Banachräume (für kompakte Störungen der Identität) heißt leray-schauderscher Abbildungsgrad.
Der brouwersche Abbildungsgrad
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]Der brouwersche Abbildungsgrad, benannt nach L. E. J. Brouwer, ordnet einer stetigen Funktion {\displaystyle f\colon {\overline {\Omega }}\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} für offenes, beschränktes {\displaystyle \Omega } und gegebenes {\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )} eine ganze Zahl {\displaystyle d(f,\Omega ,y)} zu. Entscheidend für die Anwendungen ist die Tatsache, dass die Gleichung {\displaystyle f(x)=y} bereits dann lösbar ist, wenn der Abbildungsgrad {\displaystyle d(f,\Omega ,y)} von null verschieden ist. Verschwindet der Abbildungsgrad {\displaystyle d(f,\Omega ,y)}, so kann keine Aussage zur Lösbarkeit gemacht werden.
Axiomatische Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]Der brouwersche Abbildungsgrad ist eine Funktion
- {\displaystyle d\colon \{(f,\Omega ,y)\ |\ \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\ \mathrm {offen,beschr{\ddot {a}}nkt} \ ,\ f\colon {\overline {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\ {\textrm {stetig}}\ ,\ y\in \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )\}\rightarrow \mathbb {Z} }
mit den folgenden Eigenschaften:
- {\displaystyle d(\mathrm {id} _{\overline {\Omega }},\Omega ,y)=1} für alle {\displaystyle y\in \Omega }.
- Zerlegungseigenschaft:
- {\displaystyle d(f,\Omega ,y)=d(f,\Omega _{1},y)+d(f,\Omega _{2},y)}, falls {\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}} disjunkte offene Teilmengen von {\displaystyle \Omega } sind, so dass {\displaystyle y\not \in f({\overline {\Omega }}\setminus (\Omega _{1}\cup \Omega _{2}))}.
- Homotopieinvarianz:
- {\displaystyle t\mapsto d(F(t,\cdot ),\Omega ,y(t))} ist bezüglich {\displaystyle t\in [0,1]} konstant, falls {\displaystyle F\colon [0,1]\times {\overline {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} und {\displaystyle y\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} stetig sind mit {\displaystyle y(t)\not =F(t,x)} für alle {\displaystyle t\in [0,1]} und {\displaystyle x\in \partial \Omega }.
Man kann zeigen, dass eine derartige Funktion existiert und dass sie eindeutig ist.
Wichtige Eigenschaften des brouwerschen Abbildungsgrades
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]- Ist {\displaystyle d(f,\Omega ,y)\neq 0}, so ist die Gleichung {\displaystyle f(x)=y} auf {\displaystyle \Omega } lösbar.
- Ist {\displaystyle g\in C({\bar {\Omega }})} mit
{\displaystyle \max\{|f(x)-g(x)|,円\colon x\in \partial \Omega \}<\mathrm {dist} (y,f(\partial \Omega )),}
so gilt {\displaystyle d(f,\Omega ,y)=d(g,\Omega ,y).}
Insbesondere ist der Abbildungsgrad durch die Werte auf {\displaystyle \partial \Omega } eindeutig festgelegt.
- Liegen {\displaystyle y_{1}} und {\displaystyle y_{2}} in derselben Zusammenhangskomponente {\displaystyle Z} von {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )}, so gilt {\displaystyle d(f,\Omega ,y_{1})=d(f,\Omega ,y_{2}).}
Man schreibt daher auch kurz {\displaystyle d(f,\Omega ,Z)} für {\displaystyle d(f,\Omega ,y)}, um anzudeuten, dass der Abbildungsgrad nicht von dem Punkt, sondern von der Komponente abhängt.
- Seien {\displaystyle f\colon {\overline {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} und {\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} stetig und {\displaystyle K_{i}} die beschränkten Zusammenhangskomponenten von {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )} sowie {\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}\setminus (g\circ f)(\partial \Omega )}, dann gilt die leraysche Produktformel
{\displaystyle d(g\circ f,\Omega ,y)=\sum _{i}d(f,\Omega ,K_{i})\cdot d(g,K_{i},y),}
worin nur endlich viele Summanden von null verschieden sind.
Darstellungen des Abbildungsgrades
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]- Falls {\displaystyle f} zusätzlich auf {\displaystyle \Omega } stetig differenzierbar ist und alle Punkte in {\displaystyle f^{-1}(y)} regulär sind, das heißt, die Determinante der Jacobimatrix {\displaystyle J(f)(x)} ist in diesen Punkten {\displaystyle x\in f^{-1}(y)} nicht null, so gilt
{\displaystyle d(f,\Omega ,y)=\sum _{x\in f^{-1}(y)}\mathrm {sgn} \left(\det(J(f)(x))\right),円.}
Ist {\displaystyle f} nicht stetig differenzierbar, dann kann man aufgrund der zweiten Eigenschaft eine Funktion {\displaystyle g\in C^{1}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})} wählen, die den gleichen Abbildungsgrad wie {\displaystyle f} hat. - Sei {\displaystyle f\colon {\overline {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}} wieder stetig auf {\displaystyle {\overline {\Omega }}} und stetig differenzierbar auf {\displaystyle \Omega }, {\displaystyle y\notin f(\partial \Omega )} kein kritischer Punkt. Sei außerdem {\displaystyle (\phi _{\epsilon })_{\epsilon >0}} eine Schar stetiger Funktionen von {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} nach {\displaystyle \mathbb {R} } mit {\displaystyle \operatorname {supp} (\phi _{\epsilon })\subset {\overline {K_{\epsilon }(0)}}} und {\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi _{\epsilon }(x)\mathrm {d} x=1} für alle {\displaystyle \epsilon >0} wählen, hierbei bezeichnet {\displaystyle {\overline {K_{\epsilon }(0)}}\subset \mathbb {R} ^{n}} den abgeschlossenen Ball vom Radius {\displaystyle \epsilon } um Null. Dann existiert ein {\displaystyle \epsilon _{0}(f,y)}, so dass die Integralformel
{\displaystyle d(f,\Omega ,y)=\int _{\Omega }\phi _{\epsilon }(f(x)-y)J(f)(x)\mathrm {d} x}
für alle {\displaystyle \epsilon \leq \epsilon _{0}(f,y)} gilt.
Umlaufzahl
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]Der brouwersche Abbildungsgrad umfasst als Spezialfall die in der Funktionentheorie wichtige Umlaufzahl {\displaystyle \operatorname {ind} }. Identifiziert man {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} mit {\displaystyle \mathbb {C} }, so ist der brouwersche Abbildungsgrad auch für die komplexe Ebene definiert. Eine geschlossene Kurve {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbb {C} } kann man als stetiges Bild von {\displaystyle \mathbb {S} (0)} verstehen. Mit {\displaystyle \mathbb {S} (0)\subset \mathbb {C} } wird der Einheitskreisring um den Punkt null bezeichnet. Das heißt, es existiert eine stetige und surjektive Abbildung {\displaystyle f\colon \mathbb {S} (0)\to \operatorname {Bild} (\gamma )}. Ist nun {\displaystyle a\notin \gamma =f(\mathbb {S} (0))}, so ist aufgrund der Stetigkeit des Abbildungsgrades der Ausdruck {\displaystyle d(f,K_{1}(0),a)} für alle stetigen Fortsetzungen von {\displaystyle f} dieselbe Zahl. Es gilt nun
- {\displaystyle d(f,K_{1}(0),a)=\sum _{x\in f^{-1}(a)}\mathrm {sgn} \left(\det(J(f)(x))\right)=\sum _{x\in f^{-1}(a)}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{f(S_{x}^{+})}{\frac {\mathrm {d} z}{z-a}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{f(\mathbb {S} (0))}{\frac {\mathrm {d} z}{z-a}}=\operatorname {ind} (f(S),a),}
hierbei bezeichnet {\displaystyle S_{x}^{+}} einen genügend kleinen Kreisring um {\displaystyle x}. Insbesondere zur Rechtfertigung des letzten Gleichheitszeichen sind noch ein paar Fakten aus der Topologie nötig.
Der leray-schaudersche Abbildungsgrad
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]Der leray-schaudersche Abbildungsgrad ist ein Analogon des brouwerschen Abbildungsgrades für (unendlichdimensionale) Banachräume. Dieser Abbildungsgrad wurde 1934 von J. Leray und J. Schauder definiert.[1] Jedoch ist es nicht möglich, den Abbildungsgrad für beliebige stetige Funktionen zu definieren, sondern man darf nur noch kompakte Störungen der Identität zulassen.
Kompakte Störungen der Identität
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]Seien {\displaystyle X,Y} Banachräume und {\displaystyle M} eine Teilmenge des Banachraums {\displaystyle X}. Eine Funktion {\displaystyle K\colon M\rightarrow Y} heißt kompakter Operator, falls
- {\displaystyle K} stetig ist und, falls
- {\displaystyle K} beschränkte Mengen {\displaystyle B\subset M} auf relativ kompakte Mengen abbildet. Mit anderen Worten, {\displaystyle {\overline {T(B)}}} ist eine kompakte Teilmenge von {\displaystyle Y}.
Ein Operator {\displaystyle F\colon M\subset X\rightarrow X}, der sich als {\displaystyle F=\operatorname {Id} -K} mit einem kompakten Operator {\displaystyle K} darstellen lässt, heißt kompakte Störung der Identität.
Kompakte Homotopie
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]Eine kompakte Homotopie ist eine Homotopie zwischen kompakten Operatoren. Es sei {\displaystyle M\subset X} offen und beschränkt und {\displaystyle K\colon t\mapsto K(t)} für {\displaystyle t\in [0,1]} eine operatorwertige Funktion mit kompakten Operatoren {\displaystyle K(t)\colon M\subset X\rightarrow X}. Diese operatorwertige Funktion {\displaystyle K} heißt kompakte Homotopie auf {\displaystyle M}, falls zu jedem {\displaystyle \varepsilon >0} ein {\displaystyle \delta >0} existiert, sodass
- {\displaystyle \|K(t_{1})(x)-K(t_{2})(x)\|_{X}\leq \varepsilon }
für alle {\displaystyle x\in M} und {\displaystyle t_{1},t_{2}\in [0,1]} mit {\displaystyle |t_{1}-t_{2}|<\delta } gilt.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]Sei {\displaystyle F=\operatorname {Id} -K\colon {\overline {M}}\subset X\rightarrow X} eine kompakte Störung der Identität, {\displaystyle M\subset X} offen und beschränkt und {\displaystyle y\not \in F(\partial M)}. Dann ist der leray-schaudersche Abbildungsgrad eine ganze Zahl {\displaystyle d(F,M,y)\in \mathbb {Z} }, so dass folgende Eigenschaften gelten:
- Ist {\displaystyle d(F,M,y)\neq 0}, dann ist die Gleichung {\displaystyle F(x)=y} lösbar.
- Homotopieinvarianz: Ist {\displaystyle K} eine kompakte Homotopie auf {\displaystyle {\overline {M}}} mit {\displaystyle K(t)(x)\neq x} für alle {\displaystyle t\in [0,1]} und {\displaystyle x\in \partial M}, so ist der Abbildungsgrad {\displaystyle d((\operatorname {Id} -K)(t),M,y)} unabhängig von {\displaystyle t\in [0,1]}.
Beispiel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]Die wichtigste Methode zur Berechnung des leray-schauderschen Abbildungsgrades führt, genau wie beim brouwerschen Abbildungsgrad, über die Homotopieinvarianz.
Interessiert man sich beispielsweise dafür, ob die Gleichung {\displaystyle x-F_{0}(x)x=y} eine Lösung in {\displaystyle {\overline {\Omega }}} hat, so sucht man zunächst einen passenden Raum, so dass {\displaystyle F_{0}} ein kompakter Operator ist. Um die Lösbarkeit nachzuweisen, nimmt man nun indirekt an, dass {\displaystyle x-F_{0}(x)\neq y} auf {\displaystyle \partial \Omega } gilt, weil sonst nichts mehr zu zeigen ist.
Anschließend sucht man eine kompakte Homotopie {\displaystyle H} mit {\displaystyle H(1)=F_{0}} und {\displaystyle x-H(t)(x)\neq y} für alle {\displaystyle t\in [0,1]} und {\displaystyle x\in \partial \Omega }. Diese Homotopie sollte so gewählt sein, dass man für den leray-schauderschen Abbildungsgrad {\displaystyle d(I-H(0),\Omega ,y)\neq 0} nachweisen kann. Daraus folgt nämlich {\displaystyle d(I-H(t),\Omega ,y)\neq 0} für alle {\displaystyle t\in [0,1]} und somit die Existenz eines {\displaystyle x\in \Omega } mit {\displaystyle x-F_{0}(x)x=y}.
Für ein konkretes Beispiel sei das Anfangswertproblem
- {\displaystyle x'=f(t,x)}
für {\displaystyle t\in [0,a]} und {\displaystyle x(0)=x_{0}} gegeben. Man kann zeigen, dass es mindestens eine Lösung hat, falls {\displaystyle f\colon [0,a]\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} stetig ist und falls {\displaystyle |f(t,x)|\leq B(1+|x|)} auf {\displaystyle [0,a]\times \mathbb {R} ^{n}} für ein geeignetes {\displaystyle B\geq 0} gilt. Um dies zu sehen, schreibt man das System von Differentialgleichungen in das System
- {\displaystyle x(t)=x_{0}+\int _{0}^{t}f(\tau ,x(\tau ))\mathrm {d} \tau }
von Integralgleichungen um. Da beide Gleichungen äquivalent sind, reicht es zu zeigen, dass die Integralgleichung eine stetige Lösung besitzt. Diese ist dann auch differenzierbar. Daher wählt man {\displaystyle X=C([0,a])} als den Raum der stetigen Funktion auf dem Intervall {\displaystyle [0,a]} mit der Maximumsnorm {\displaystyle \textstyle \|x\|=\max _{t\in [0,a]}|x(t)|}. Außerdem setzt man
- {\displaystyle F_{0}(x)(t):=x_{0}+\int _{0}^{t}f(\tau ,x(\tau ))\mathrm {d} \tau ,円.}
Aufgrund des Satzes von Arzelà-Ascoli ist {\displaystyle F_{0}} ein kompakter Operator und {\displaystyle H(t)(x):=t\cdot F_{0}(x)} eine kompakte Homotopie. Da die Existenz einer Lösung von {\displaystyle x-F_{0}(x)=0} untersucht wird, wird {\displaystyle y=0} gesetzt. Da {\displaystyle |f(t,x)|\leq B(1+|x|)} vorausgesetzt wurde, kann man zeigen, dass es reicht, {\displaystyle \Omega :=B_{r}(0)} mit einem {\displaystyle r>(|x_{0}|+B\cdot a)e^{-Ba}} zu wählen, und erhält aufgrund der Homotopieinvarianz
- {\displaystyle d(I-F_{0},B_{r}(0),y)=d(I,B_{r}(0),y)=1,円.}
Damit ist gezeigt, dass die Integralgleichung mindestens eine stetige Lösung besitzt.
Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]Sei
- {\displaystyle f\colon M\rightarrow N}
eine stetige Abbildung zwischen n-dimensionalen, kompakten, orientierten Mannigfaltigkeiten. (n ist eine natürliche Zahl.)
Die Orientierung der Mannigfaltigkeiten induziert Isomorphismen
- {\displaystyle H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ,H_{n}(N,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }.
Der von f induzierte Homomorphismus
- {\displaystyle f_{*}\colon H_{n}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n}(N,\mathbb {Z} )}
ist die Multiplikation mit einer ganzen Zahl d, diese ist der Abbildungsgrad von f.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]- Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1.
- Michael Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20066-5.
- Andrzej Granas, James Dugundji: Fixed point theory. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2003, ISBN 978-0-387-00173-9.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]- ↑ Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Seite 37.