Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix, Ableitungsmatrix oder Jacobische genannt) einer differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}},円\!}${\displaystyle f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}},円\!} ist die ${\displaystyle m\times n}${\displaystyle m\times n}-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit bildet sie die Matrix-Darstellung der als lineare Abbildung aufgefassten ersten Ableitung der Funktion ${\displaystyle f}${\displaystyle f} bezüglich der Standardbasen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} und des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}.

Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Sei ${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} eine Funktion, deren Komponentenfunktionen mit ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}} bezeichnet seien und deren partielle Ableitungen alle existieren sollen. Für einen Raumpunkt ${\displaystyle x}${\displaystyle x} im Urbildraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} seien ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} die jeweils zugehörigen Koordinaten.

Dann ist für ${\displaystyle a\in U}${\displaystyle a\in U} die Jacobi-Matrix im Punkt ${\displaystyle a}${\displaystyle a} durch

${\displaystyle J_{f}(a):=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right)_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{pmatrix}}}${\displaystyle J_{f}(a):=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right)_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{pmatrix}}}

definiert.

In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also gerade die (transponierten) Gradienten der Komponentenfunktionen ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}} von ${\displaystyle f}${\displaystyle f}.

Andere übliche Schreibweisen für die Jacobi-Matrix ${\displaystyle J_{f}(a)}${\displaystyle J_{f}(a)} von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} an der Stelle ${\displaystyle a}${\displaystyle a} sind ${\displaystyle Df(a)}${\displaystyle Df(a)}, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(a)}${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(a)} und ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}(a)}${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}(a)}.

Die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}} sei gegeben durch

${\displaystyle f(x,y,z)={\binom {x^{2}+y^{2}+z\cdot \sin x}{z^{2}+z\cdot \sin y}}}${\displaystyle f(x,y,z)={\binom {x^{2}+y^{2}+z\cdot \sin x}{z^{2}+z\cdot \sin y}}}

Dann ist

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y,z)&={\binom {2x+z\cdot \cos x}{0}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,z)&={\binom {2y}{z\cdot \cos y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}f(x,y,z)&={\binom {\sin x}{2z+\sin y}}\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y,z)&={\binom {2x+z\cdot \cos x}{0}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,z)&={\binom {2y}{z\cdot \cos y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}f(x,y,z)&={\binom {\sin x}{2z+\sin y}}\end{aligned}}}

und damit die Jacobi-Matrix

${\displaystyle J_{f}(x,y,z)=\left({\begin{array}{ccc}2x+z\cdot \cos x&2y&\sin x\0円&z\cdot \cos y,円&2z+\sin y\end{array}}\right)}${\displaystyle J_{f}(x,y,z)=\left({\begin{array}{ccc}2x+z\cdot \cos x&2y&\sin x\0円&z\cdot \cos y,円&2z+\sin y\end{array}}\right)}

• Ist die Funktion ${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} total differenzierbar, dann ist ihr totales Differential ${\displaystyle Df_{a}}${\displaystyle Df_{a}} an der Stelle ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in U}${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in U} die lineare Abbildung

${\displaystyle Df_{a}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\quad Df_{a}(h)=J_{f}(a)\cdot h}${\displaystyle Df_{a}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\quad Df_{a}(h)=J_{f}(a)\cdot h}.

Die Jacobi-Matrix an der Stelle ${\displaystyle a}${\displaystyle a} ist also die Abbildungsmatrix von ${\displaystyle Df_{a}}${\displaystyle Df_{a}}.

• Für ${\displaystyle m=1}${\displaystyle m=1} entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von ${\displaystyle f}${\displaystyle f}. Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.

• Die Jacobi-Matrix kann, wenn man sie für eine Stelle ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})} ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} in der Nähe von ${\displaystyle a}${\displaystyle a} verwendet werden:

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+J_{f}(a)\cdot (x-a).}${\displaystyle f(x)\approx f(a)+J_{f}(a)\cdot (x-a).}

Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).

• Die Fortpflanzung von Messfehlern in Form einer Kovarianzmatrix geschieht durch die Jacobi-Matrix: ${\displaystyle V_{f}=J\cdot V_{x}\cdot J^{\text{T}}}${\displaystyle V_{f}=J\cdot V_{x}\cdot J^{\text{T}}}

Sei ${\displaystyle m=n}${\displaystyle m=n}, es wird also eine differenzierbare Funktion ${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix ${\displaystyle J_{f}(a)}${\displaystyle J_{f}(a)} am Punkt ${\displaystyle a\in U}${\displaystyle a\in U} eine quadratische ${\displaystyle n\times n}${\displaystyle n\times n}-Matrix. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix ${\displaystyle \det(J_{f}(a))}${\displaystyle \det(J_{f}(a))} bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt ${\displaystyle a}${\displaystyle a} ungleich null, so ist die Funktion ${\displaystyle f}${\displaystyle f} in einer Umgebung von ${\displaystyle a}${\displaystyle a} invertierbar. Dies besagt der Satz von der Umkehrabbildung. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim Transformationssatz für Integrale. Ist ${\displaystyle m\neq n}${\displaystyle m\neq n}, so kann man definitionsgemäß keine Determinante der ${\displaystyle m\times n}${\displaystyle m\times n}-Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird Gramsche Determinante genannt.

Neben Funktionen ${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} kann man auch Funktionen ${\displaystyle h\colon V\subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}${\displaystyle h\colon V\subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}} auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden holomorph genannt, denn sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion ${\displaystyle h:=(h_{1},\ldots ,h_{m})\colon V\subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}${\displaystyle h:=(h_{1},\ldots ,h_{m})\colon V\subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}} kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine ${\displaystyle m\times n}${\displaystyle m\times n} mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine ${\displaystyle 2m\times 2n}${\displaystyle 2m\times 2n}-Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die ${\displaystyle m\times n}${\displaystyle m\times n}-Jacobi-Matrix ${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {C} }(z)}${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {C} }(z)} am Punkt ${\displaystyle z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})\in V\subset \mathbb {C} ^{n}}${\displaystyle z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})\in V\subset \mathbb {C} ^{n}} ist durch

${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {C} }(z):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{n}}}\end{pmatrix}}}${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {C} }(z):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{n}}}\end{pmatrix}}}

definiert.

Jede komplexwertige Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen ${\displaystyle u,v\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle u,v\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}, sodass ${\displaystyle h=u+iv}${\displaystyle h=u+iv} gilt. Die Funktionen ${\displaystyle u}${\displaystyle u} und ${\displaystyle v}${\displaystyle v} kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien ${\displaystyle z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})}${\displaystyle z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})} die Koordinaten in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} und setze ${\displaystyle z_{j}:=x_{j}+iy_{j}}${\displaystyle z_{j}:=x_{j}+iy_{j}} für alle ${\displaystyle j}${\displaystyle j}. Die ${\displaystyle 2m\times 2n}${\displaystyle 2m\times 2n}-Jacobi-Matrix ${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {R} }(z)}${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {R} }(z)} der holomorphen Funktion ${\displaystyle h}${\displaystyle h} am Punkt ${\displaystyle z\in V}${\displaystyle z\in V} ist dann definiert durch

${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {R} }(z):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial y_{n}}}\\{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial y_{n}}}\end{pmatrix}}}${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {R} }(z):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial y_{n}}}\\{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial y_{n}}}\end{pmatrix}}}.

Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen ${\displaystyle m=n}${\displaystyle m=n}, so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich

${\displaystyle \det \left(J_{h}^{\mathbb {R} }(z)\right)=\left|\det(J_{h}^{\mathbb {C} }(z))\right|^{2}}${\displaystyle \det \left(J_{h}^{\mathbb {R} }(z)\right)=\left|\det(J_{h}^{\mathbb {C} }(z))\right|^{2}}.

• Mehrdimensionale Kettenregel
• Hesse-Matrix
• Gradient (Mathematik)

• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8. (für Jacobi-Matrizen reeller Funktionen).
• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95395-7. (S. 30–31; für Jacobi-Matrizen holomorpher Funktionen).

• Analysis
• Carl Gustav Jacob Jacobi als Namensgeber