Abbildungsgrad

Der Abbildungsgrad ist ein Hilfsmittel der nichtlinearen Analysis, um die Existenz von Lösungen nichtlinearer Gleichungen ${\displaystyle f(x)=y}${\displaystyle f(x)=y} nachzuweisen. Mit seiner Hilfe kann man beispielsweise den brouwerschen Fixpunktsatz, den Satz von Borsuk-Ulam oder den jordanschen Kurvensatz beweisen. Im Endlichdimensionalen (für stetige Funktionen) bezeichnet man ihn als brouwerschen Abbildungsgrad; seine Erweiterung auf Banachräume (für kompakte Störungen der Identität) heißt leray-schauderscher Abbildungsgrad.

Der brouwersche Abbildungsgrad, benannt nach L. E. J. Brouwer, ordnet einer stetigen Funktion ${\displaystyle f\colon {\overline {\Omega }}\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle f\colon {\overline {\Omega }}\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} für offenes, beschränktes ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } und gegebenes ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )}${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )} eine ganze Zahl ${\displaystyle d(f,\Omega ,y)}${\displaystyle d(f,\Omega ,y)} zu. Entscheidend für die Anwendungen ist die Tatsache, dass die Gleichung ${\displaystyle f(x)=y}${\displaystyle f(x)=y} bereits dann lösbar ist, wenn der Abbildungsgrad ${\displaystyle d(f,\Omega ,y)}${\displaystyle d(f,\Omega ,y)} von null verschieden ist. Verschwindet der Abbildungsgrad ${\displaystyle d(f,\Omega ,y)}${\displaystyle d(f,\Omega ,y)}, so kann keine Aussage zur Lösbarkeit gemacht werden.

Der brouwersche Abbildungsgrad ist eine Funktion

${\displaystyle d\colon \{(f,\Omega ,y)\ |\ \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\ \mathrm {offen,beschr{\ddot {a}}nkt} \ ,\ f\colon {\overline {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\ {\textrm {stetig}}\ ,\ y\in \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )\}\rightarrow \mathbb {Z} }${\displaystyle d\colon \{(f,\Omega ,y)\ |\ \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\ \mathrm {offen,beschr{\ddot {a}}nkt} \ ,\ f\colon {\overline {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\ {\textrm {stetig}}\ ,\ y\in \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )\}\rightarrow \mathbb {Z} }

mit den folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle d(\mathrm {id} _{\overline {\Omega }},\Omega ,y)=1}${\displaystyle d(\mathrm {id} _{\overline {\Omega }},\Omega ,y)=1} für alle ${\displaystyle y\in \Omega }${\displaystyle y\in \Omega }.
• Zerlegungseigenschaft:

${\displaystyle d(f,\Omega ,y)=d(f,\Omega _{1},y)+d(f,\Omega _{2},y)}${\displaystyle d(f,\Omega ,y)=d(f,\Omega _{1},y)+d(f,\Omega _{2},y)}, falls ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}} disjunkte offene Teilmengen von ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } sind, so dass ${\displaystyle y\not \in f({\overline {\Omega }}\setminus (\Omega _{1}\cup \Omega _{2}))}${\displaystyle y\not \in f({\overline {\Omega }}\setminus (\Omega _{1}\cup \Omega _{2}))}.

• Homotopieinvarianz:

${\displaystyle t\mapsto d(F(t,\cdot ),\Omega ,y(t))}${\displaystyle t\mapsto d(F(t,\cdot ),\Omega ,y(t))} ist bezüglich ${\displaystyle t\in [0,1]}${\displaystyle t\in [0,1]} konstant, falls ${\displaystyle F\colon [0,1]\times {\overline {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle F\colon [0,1]\times {\overline {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} und ${\displaystyle y\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle y\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} stetig sind mit ${\displaystyle y(t)\not =F(t,x)}${\displaystyle y(t)\not =F(t,x)} für alle ${\displaystyle t\in [0,1]}${\displaystyle t\in [0,1]} und ${\displaystyle x\in \partial \Omega }${\displaystyle x\in \partial \Omega }.

Man kann zeigen, dass eine derartige Funktion existiert und dass sie eindeutig ist.

• Ist ${\displaystyle d(f,\Omega ,y)\neq 0}${\displaystyle d(f,\Omega ,y)\neq 0}, so ist die Gleichung ${\displaystyle f(x)=y}${\displaystyle f(x)=y} auf ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } lösbar.

• Ist ${\displaystyle g\in C({\bar {\Omega }})}${\displaystyle g\in C({\bar {\Omega }})} mit
  ${\displaystyle \max\{|f(x)-g(x)|,円\colon x\in \partial \Omega \}<\mathrm {dist} (y,f(\partial \Omega )),}${\displaystyle \max\{|f(x)-g(x)|,円\colon x\in \partial \Omega \}<\mathrm {dist} (y,f(\partial \Omega )),}
  so gilt ${\displaystyle d(f,\Omega ,y)=d(g,\Omega ,y).}${\displaystyle d(f,\Omega ,y)=d(g,\Omega ,y).}
  Insbesondere ist der Abbildungsgrad durch die Werte auf ${\displaystyle \partial \Omega }${\displaystyle \partial \Omega } eindeutig festgelegt.

• Liegen ${\displaystyle y_{1}}${\displaystyle y_{1}} und ${\displaystyle y_{2}}${\displaystyle y_{2}} in derselben Zusammenhangskomponente ${\displaystyle Z}${\displaystyle Z} von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )}, so gilt ${\displaystyle d(f,\Omega ,y_{1})=d(f,\Omega ,y_{2}).}${\displaystyle d(f,\Omega ,y_{1})=d(f,\Omega ,y_{2}).}
  Man schreibt daher auch kurz ${\displaystyle d(f,\Omega ,Z)}${\displaystyle d(f,\Omega ,Z)} für ${\displaystyle d(f,\Omega ,y)}${\displaystyle d(f,\Omega ,y)}, um anzudeuten, dass der Abbildungsgrad nicht von dem Punkt, sondern von der Komponente abhängt.

• Seien ${\displaystyle f\colon {\overline {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle f\colon {\overline {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} und ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} stetig und ${\displaystyle K_{i}}${\displaystyle K_{i}} die beschränkten Zusammenhangskomponenten von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus f(\partial \Omega )} sowie ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}\setminus (g\circ f)(\partial \Omega )}${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}\setminus (g\circ f)(\partial \Omega )}, dann gilt die leraysche Produktformel
  ${\displaystyle d(g\circ f,\Omega ,y)=\sum _{i}d(f,\Omega ,K_{i})\cdot d(g,K_{i},y),}${\displaystyle d(g\circ f,\Omega ,y)=\sum _{i}d(f,\Omega ,K_{i})\cdot d(g,K_{i},y),}
  worin nur endlich viele Summanden von null verschieden sind.

• Falls ${\displaystyle f}${\displaystyle f} zusätzlich auf ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } stetig differenzierbar ist und alle Punkte in ${\displaystyle f^{-1}(y)}${\displaystyle f^{-1}(y)} regulär sind, das heißt, die Determinante der Jacobimatrix ${\displaystyle J(f)(x)}${\displaystyle J(f)(x)} ist in diesen Punkten ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}${\displaystyle x\in f^{-1}(y)} nicht null, so gilt
  ${\displaystyle d(f,\Omega ,y)=\sum _{x\in f^{-1}(y)}\mathrm {sgn} \left(\det(J(f)(x))\right),円.}${\displaystyle d(f,\Omega ,y)=\sum _{x\in f^{-1}(y)}\mathrm {sgn} \left(\det(J(f)(x))\right),円.}
  Ist ${\displaystyle f}${\displaystyle f} nicht stetig differenzierbar, dann kann man aufgrund der zweiten Eigenschaft eine Funktion ${\displaystyle g\in C^{1}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}${\displaystyle g\in C^{1}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})} wählen, die den gleichen Abbildungsgrad wie ${\displaystyle f}${\displaystyle f} hat.
• Sei ${\displaystyle f\colon {\overline {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle f\colon {\overline {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}} wieder stetig auf ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}${\displaystyle {\overline {\Omega }}} und stetig differenzierbar auf ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega }, ${\displaystyle y\notin f(\partial \Omega )}${\displaystyle y\notin f(\partial \Omega )} kein kritischer Punkt. Sei außerdem ${\displaystyle (\phi _{\epsilon })_{\epsilon >0}}${\displaystyle (\phi _{\epsilon })_{\epsilon >0}} eine Schar stetiger Funktionen von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} nach ${\displaystyle \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {R} } mit ${\displaystyle \operatorname {supp} (\phi _{\epsilon })\subset {\overline {K_{\epsilon }(0)}}}${\displaystyle \operatorname {supp} (\phi _{\epsilon })\subset {\overline {K_{\epsilon }(0)}}} und ${\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi _{\epsilon }(x)\mathrm {d} x=1}${\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi _{\epsilon }(x)\mathrm {d} x=1} für alle ${\displaystyle \epsilon >0}${\displaystyle \epsilon >0} wählen, hierbei bezeichnet ${\displaystyle {\overline {K_{\epsilon }(0)}}\subset \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle {\overline {K_{\epsilon }(0)}}\subset \mathbb {R} ^{n}} den abgeschlossenen Ball vom Radius ${\displaystyle \epsilon }${\displaystyle \epsilon } um Null. Dann existiert ein ${\displaystyle \epsilon _{0}(f,y)}${\displaystyle \epsilon _{0}(f,y)}, so dass die Integralformel
  ${\displaystyle d(f,\Omega ,y)=\int _{\Omega }\phi _{\epsilon }(f(x)-y)J(f)(x)\mathrm {d} x}${\displaystyle d(f,\Omega ,y)=\int _{\Omega }\phi _{\epsilon }(f(x)-y)J(f)(x)\mathrm {d} x}
  für alle ${\displaystyle \epsilon \leq \epsilon _{0}(f,y)}${\displaystyle \epsilon \leq \epsilon _{0}(f,y)} gilt.

Der brouwersche Abbildungsgrad umfasst als Spezialfall die in der Funktionentheorie wichtige Umlaufzahl ${\displaystyle \operatorname {ind} }${\displaystyle \operatorname {ind} }. Identifiziert man ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} mit ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} }, so ist der brouwersche Abbildungsgrad auch für die komplexe Ebene definiert. Eine geschlossene Kurve ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbb {C} }${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbb {C} } kann man als stetiges Bild von ${\displaystyle \mathbb {S} (0)}${\displaystyle \mathbb {S} (0)} verstehen. Mit ${\displaystyle \mathbb {S} (0)\subset \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {S} (0)\subset \mathbb {C} } wird der Einheitskreisring um den Punkt null bezeichnet. Das heißt, es existiert eine stetige und surjektive Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} (0)\to \operatorname {Bild} (\gamma )}${\displaystyle f\colon \mathbb {S} (0)\to \operatorname {Bild} (\gamma )}. Ist nun ${\displaystyle a\notin \gamma =f(\mathbb {S} (0))}${\displaystyle a\notin \gamma =f(\mathbb {S} (0))}, so ist aufgrund der Stetigkeit des Abbildungsgrades der Ausdruck ${\displaystyle d(f,K_{1}(0),a)}${\displaystyle d(f,K_{1}(0),a)} für alle stetigen Fortsetzungen von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} dieselbe Zahl. Es gilt nun

${\displaystyle d(f,K_{1}(0),a)=\sum _{x\in f^{-1}(a)}\mathrm {sgn} \left(\det(J(f)(x))\right)=\sum _{x\in f^{-1}(a)}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{f(S_{x}^{+})}{\frac {\mathrm {d} z}{z-a}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{f(\mathbb {S} (0))}{\frac {\mathrm {d} z}{z-a}}=\operatorname {ind} (f(S),a),}${\displaystyle d(f,K_{1}(0),a)=\sum _{x\in f^{-1}(a)}\mathrm {sgn} \left(\det(J(f)(x))\right)=\sum _{x\in f^{-1}(a)}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{f(S_{x}^{+})}{\frac {\mathrm {d} z}{z-a}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{f(\mathbb {S} (0))}{\frac {\mathrm {d} z}{z-a}}=\operatorname {ind} (f(S),a),}

hierbei bezeichnet ${\displaystyle S_{x}^{+}}${\displaystyle S_{x}^{+}} einen genügend kleinen Kreisring um ${\displaystyle x}${\displaystyle x}. Insbesondere zur Rechtfertigung des letzten Gleichheitszeichen sind noch ein paar Fakten aus der Topologie nötig.

Der leray-schaudersche Abbildungsgrad ist ein Analogon des brouwerschen Abbildungsgrades für (unendlichdimensionale) Banachräume. Dieser Abbildungsgrad wurde 1934 von J. Leray und J. Schauder definiert.^[1] Jedoch ist es nicht möglich, den Abbildungsgrad für beliebige stetige Funktionen zu definieren, sondern man darf nur noch kompakte Störungen der Identität zulassen.

Seien ${\displaystyle X,Y}${\displaystyle X,Y} Banachräume und ${\displaystyle M}${\displaystyle M} eine Teilmenge des Banachraums ${\displaystyle X}${\displaystyle X}. Eine Funktion ${\displaystyle K\colon M\rightarrow Y}${\displaystyle K\colon M\rightarrow Y} heißt kompakter Operator, falls

• ${\displaystyle K}${\displaystyle K} stetig ist und, falls
• ${\displaystyle K}${\displaystyle K} beschränkte Mengen ${\displaystyle B\subset M}${\displaystyle B\subset M} auf relativ kompakte Mengen abbildet. Mit anderen Worten, ${\displaystyle {\overline {T(B)}}}${\displaystyle {\overline {T(B)}}} ist eine kompakte Teilmenge von ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y}.

Ein Operator ${\displaystyle F\colon M\subset X\rightarrow X}${\displaystyle F\colon M\subset X\rightarrow X}, der sich als ${\displaystyle F=\operatorname {Id} -K}${\displaystyle F=\operatorname {Id} -K} mit einem kompakten Operator ${\displaystyle K}${\displaystyle K} darstellen lässt, heißt kompakte Störung der Identität.

Eine kompakte Homotopie ist eine Homotopie zwischen kompakten Operatoren. Es sei ${\displaystyle M\subset X}${\displaystyle M\subset X} offen und beschränkt und ${\displaystyle K\colon t\mapsto K(t)}${\displaystyle K\colon t\mapsto K(t)} für ${\displaystyle t\in [0,1]}${\displaystyle t\in [0,1]} eine operatorwertige Funktion mit kompakten Operatoren ${\displaystyle K(t)\colon M\subset X\rightarrow X}${\displaystyle K(t)\colon M\subset X\rightarrow X}. Diese operatorwertige Funktion ${\displaystyle K}${\displaystyle K} heißt kompakte Homotopie auf ${\displaystyle M}${\displaystyle M}, falls zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}${\displaystyle \varepsilon >0} ein ${\displaystyle \delta >0}${\displaystyle \delta >0} existiert, sodass

${\displaystyle \|K(t_{1})(x)-K(t_{2})(x)\|_{X}\leq \varepsilon }${\displaystyle \|K(t_{1})(x)-K(t_{2})(x)\|_{X}\leq \varepsilon }

für alle ${\displaystyle x\in M}${\displaystyle x\in M} und ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in [0,1]}${\displaystyle t_{1},t_{2}\in [0,1]} mit ${\displaystyle |t_{1}-t_{2}|<\delta }${\displaystyle |t_{1}-t_{2}|<\delta } gilt.

Sei ${\displaystyle F=\operatorname {Id} -K\colon {\overline {M}}\subset X\rightarrow X}${\displaystyle F=\operatorname {Id} -K\colon {\overline {M}}\subset X\rightarrow X} eine kompakte Störung der Identität, ${\displaystyle M\subset X}${\displaystyle M\subset X} offen und beschränkt und ${\displaystyle y\not \in F(\partial M)}${\displaystyle y\not \in F(\partial M)}. Dann ist der leray-schaudersche Abbildungsgrad eine ganze Zahl ${\displaystyle d(F,M,y)\in \mathbb {Z} }${\displaystyle d(F,M,y)\in \mathbb {Z} }, so dass folgende Eigenschaften gelten:

• Ist ${\displaystyle d(F,M,y)\neq 0}${\displaystyle d(F,M,y)\neq 0}, dann ist die Gleichung ${\displaystyle F(x)=y}${\displaystyle F(x)=y} lösbar.

• Homotopieinvarianz: Ist ${\displaystyle K}${\displaystyle K} eine kompakte Homotopie auf ${\displaystyle {\overline {M}}}${\displaystyle {\overline {M}}} mit ${\displaystyle K(t)(x)\neq x}${\displaystyle K(t)(x)\neq x} für alle ${\displaystyle t\in [0,1]}${\displaystyle t\in [0,1]} und ${\displaystyle x\in \partial M}${\displaystyle x\in \partial M}, so ist der Abbildungsgrad ${\displaystyle d((\operatorname {Id} -K)(t),M,y)}${\displaystyle d((\operatorname {Id} -K)(t),M,y)} unabhängig von ${\displaystyle t\in [0,1]}${\displaystyle t\in [0,1]}.

Die wichtigste Methode zur Berechnung des leray-schauderschen Abbildungsgrades führt, genau wie beim brouwerschen Abbildungsgrad, über die Homotopieinvarianz.

Interessiert man sich beispielsweise dafür, ob die Gleichung ${\displaystyle x-F_{0}(x)x=y}${\displaystyle x-F_{0}(x)x=y} eine Lösung in ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}${\displaystyle {\overline {\Omega }}} hat, so sucht man zunächst einen passenden Raum, so dass ${\displaystyle F_{0}}${\displaystyle F_{0}} ein kompakter Operator ist. Um die Lösbarkeit nachzuweisen, nimmt man nun indirekt an, dass ${\displaystyle x-F_{0}(x)\neq y}${\displaystyle x-F_{0}(x)\neq y} auf ${\displaystyle \partial \Omega }${\displaystyle \partial \Omega } gilt, weil sonst nichts mehr zu zeigen ist.

Anschließend sucht man eine kompakte Homotopie ${\displaystyle H}${\displaystyle H} mit ${\displaystyle H(1)=F_{0}}${\displaystyle H(1)=F_{0}} und ${\displaystyle x-H(t)(x)\neq y}${\displaystyle x-H(t)(x)\neq y} für alle ${\displaystyle t\in [0,1]}${\displaystyle t\in [0,1]} und ${\displaystyle x\in \partial \Omega }${\displaystyle x\in \partial \Omega }. Diese Homotopie sollte so gewählt sein, dass man für den leray-schauderschen Abbildungsgrad ${\displaystyle d(I-H(0),\Omega ,y)\neq 0}${\displaystyle d(I-H(0),\Omega ,y)\neq 0} nachweisen kann. Daraus folgt nämlich ${\displaystyle d(I-H(t),\Omega ,y)\neq 0}${\displaystyle d(I-H(t),\Omega ,y)\neq 0} für alle ${\displaystyle t\in [0,1]}${\displaystyle t\in [0,1]} und somit die Existenz eines ${\displaystyle x\in \Omega }${\displaystyle x\in \Omega } mit ${\displaystyle x-F_{0}(x)x=y}${\displaystyle x-F_{0}(x)x=y}.

Für ein konkretes Beispiel sei das Anfangswertproblem

${\displaystyle x'=f(t,x)}${\displaystyle x'=f(t,x)}

für ${\displaystyle t\in [0,a]}${\displaystyle t\in [0,a]} und ${\displaystyle x(0)=x_{0}}${\displaystyle x(0)=x_{0}} gegeben. Man kann zeigen, dass es mindestens eine Lösung hat, falls ${\displaystyle f\colon [0,a]\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle f\colon [0,a]\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} stetig ist und falls ${\displaystyle |f(t,x)|\leq B(1+|x|)}${\displaystyle |f(t,x)|\leq B(1+|x|)} auf ${\displaystyle [0,a]\times \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle [0,a]\times \mathbb {R} ^{n}} für ein geeignetes ${\displaystyle B\geq 0}${\displaystyle B\geq 0} gilt. Um dies zu sehen, schreibt man das System von Differentialgleichungen in das System

${\displaystyle x(t)=x_{0}+\int _{0}^{t}f(\tau ,x(\tau ))\mathrm {d} \tau }${\displaystyle x(t)=x_{0}+\int _{0}^{t}f(\tau ,x(\tau ))\mathrm {d} \tau }

von Integralgleichungen um. Da beide Gleichungen äquivalent sind, reicht es zu zeigen, dass die Integralgleichung eine stetige Lösung besitzt. Diese ist dann auch differenzierbar. Daher wählt man ${\displaystyle X=C([0,a])}${\displaystyle X=C([0,a])} als den Raum der stetigen Funktion auf dem Intervall ${\displaystyle [0,a]}${\displaystyle [0,a]} mit der Maximumsnorm ${\displaystyle \textstyle \|x\|=\max _{t\in [0,a]}|x(t)|}${\displaystyle \textstyle \|x\|=\max _{t\in [0,a]}|x(t)|}. Außerdem setzt man

${\displaystyle F_{0}(x)(t):=x_{0}+\int _{0}^{t}f(\tau ,x(\tau ))\mathrm {d} \tau ,円.}${\displaystyle F_{0}(x)(t):=x_{0}+\int _{0}^{t}f(\tau ,x(\tau ))\mathrm {d} \tau ,円.}

Aufgrund des Satzes von Arzelà-Ascoli ist ${\displaystyle F_{0}}${\displaystyle F_{0}} ein kompakter Operator und ${\displaystyle H(t)(x):=t\cdot F_{0}(x)}${\displaystyle H(t)(x):=t\cdot F_{0}(x)} eine kompakte Homotopie. Da die Existenz einer Lösung von ${\displaystyle x-F_{0}(x)=0}${\displaystyle x-F_{0}(x)=0} untersucht wird, wird ${\displaystyle y=0}${\displaystyle y=0} gesetzt. Da ${\displaystyle |f(t,x)|\leq B(1+|x|)}${\displaystyle |f(t,x)|\leq B(1+|x|)} vorausgesetzt wurde, kann man zeigen, dass es reicht, ${\displaystyle \Omega :=B_{r}(0)}${\displaystyle \Omega :=B_{r}(0)} mit einem ${\displaystyle r>(|x_{0}|+B\cdot a)e^{-Ba}}${\displaystyle r>(|x_{0}|+B\cdot a)e^{-Ba}} zu wählen, und erhält aufgrund der Homotopieinvarianz

${\displaystyle d(I-F_{0},B_{r}(0),y)=d(I,B_{r}(0),y)=1,円.}${\displaystyle d(I-F_{0},B_{r}(0),y)=d(I,B_{r}(0),y)=1,円.}

Damit ist gezeigt, dass die Integralgleichung mindestens eine stetige Lösung besitzt.

Sei

${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}

eine stetige Abbildung zwischen n-dimensionalen, kompakten, orientierten Mannigfaltigkeiten. (n ist eine natürliche Zahl.)

Die Orientierung der Mannigfaltigkeiten induziert Isomorphismen

${\displaystyle H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ,H_{n}(N,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }${\displaystyle H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ,H_{n}(N,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }.

Der von f induzierte Homomorphismus

${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n}(N,\mathbb {Z} )}${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n}(N,\mathbb {Z} )}

ist die Multiplikation mit einer ganzen Zahl d, diese ist der Abbildungsgrad von f.

• Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1. 
• Michael Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20066-5. 
• Andrzej Granas, James Dugundji: Fixed point theory. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2003, ISBN 978-0-387-00173-9. 

1. ↑ Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Seite 37.

• Algebraische Topologie
• Funktionalanalysis

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