Hum, je trouve pas.

Bon, alors, ce qui nous interesse c'est l'esperance de la probabilité de tirer au dessus de 1 en exactement n essais.

Alors, deja on va poser P(X = i), qui correspond à la probabilité de tirer en n ou moins essais. A ce moment la, la somme de n nombres entre 0 et 1 est comprise uniformement entre [0, n[, d'ou la probabilité d'etre au dessus de 1 c'est la probabilité du sous ensemble ]1, n[, qui est de (n-1) / n, ou 1 - 1/n.

Cela est assez intuitif comme résultat, car pour n = 1, l'on obtient 0 (c'est dur de faire plus de 1 avec un seul essai) et pour n = 2, on obtient 1/2, l'on à une chance sur deux, soit c'est au dessus, soit c'est au dessous.

Ici j'ai juste des doutes sur les bornes.

Bref, P(X=i) = (n-1) / n

Mais ici ce qui nous interesse, c'est la probabilité d'avoir en n essais sachant que l'on ne l'a pas eu en n - 1 essais, d'ou

P'(X = i) = P(X=i) - P(X = i-1) = (n-1) / n - (n-2) / (n-1) = 1 - 1/n - (1 - 1/(n-1))

= 1 / (n-1) - 1/n = (n - (n-1)) / (n(n-1)) = 1 / (n(n-1))

Mais finalement, ce que l'on veut c'est l'esperance de cette variable, d'où

E = \sum _ {i = 2} ^ \infty P'(X = i) * i = \sum _ {i = 2} ^ \infty 1 / (n-1) = \sum _ {i = 1} ^ \infty 1 / (n) = \infty !!!

Bref, cela fait trop... Où est mon erreur ?