Notons n le nombre de cartes a obtenir (ici n=32).
Si tu as i cartes, la probabilité que tu obtiennes une nouvelle carte en exactement p coup est: P(i,p)=(i/n)^(p-1)*(n-i)/n. En effet, au premier coup, pas de bol (avec proba i/n). Au second coup, pareil. Au troisième, pareil. Ainsi de suite jusqu'au p-ième coup ou enfin, on trouve la carte avec proba (n-i)/n.
Le nombre moyen de coup pour avoir une nouvelle carte est donc E(i)=1*P(i,1)+2*P(i,2)+3*P(i,3)+... On montre que dans le cas qui nous concerne, E(i)=n/(n-i). Ce résultat n'est pas choquant. Si on a aucune carte, il faut en moyenne attendre 1 coup. Plus on a de carte, plus il faut attendre longtemps et si on en a n, il faut attendre n/0= très beaucoup.
Le nombre de coup moyen pour obtenir toutes les cartes est donc E(0)+E(1)+E(2)+...E(n-1)=n(1/n+1/(n-1)+1/(n-2)+...+1/3+1/2+1).
Si n est très grand, on prouve que ça tends vers n.log(n).
# attention, proba inside
Posté par fmaz fmaz . En réponse au journal Probabilités et sarkozysme. Évalué à 9.
Réponse courte: 130
Réponse longue.
Notons n le nombre de cartes a obtenir (ici n=32).
Si tu as i cartes, la probabilité que tu obtiennes une nouvelle carte en exactement p coup est: P(i,p)=(i/n)^(p-1)*(n-i)/n. En effet, au premier coup, pas de bol (avec proba i/n). Au second coup, pareil. Au troisième, pareil. Ainsi de suite jusqu'au p-ième coup ou enfin, on trouve la carte avec proba (n-i)/n.
Le nombre moyen de coup pour avoir une nouvelle carte est donc E(i)=1*P(i,1)+2*P(i,2)+3*P(i,3)+... On montre que dans le cas qui nous concerne, E(i)=n/(n-i). Ce résultat n'est pas choquant. Si on a aucune carte, il faut en moyenne attendre 1 coup. Plus on a de carte, plus il faut attendre longtemps et si on en a n, il faut attendre n/0= très beaucoup.
Le nombre de coup moyen pour obtenir toutes les cartes est donc E(0)+E(1)+E(2)+...E(n-1)=n(1/n+1/(n-1)+1/(n-2)+...+1/3+1/2+1).
Si n est très grand, on prouve que ça tends vers n.log(n).