La cohérence d'un système, ou d'une théorie plus précisément, c'est le fait qu'il ne se contredise pas lui même. Genre "je suis" et "je ne suis pas". Un tel système est inintéressant parce que dans un système déductif une incohérence de ce type permet de déduire n'importe quoi ... et son contraire. Donc on apprends rien.
La complétude c'est un peu plus compliqué : dans un système logique tu as
* des axiomes,
* des règles de déduction,
* des formules logiques. Genre par exemple "je suis beau ET je suis fort" "2 est pair" "2 est impair" ...
Certaines de ces formules sont vraies (2 est pair, la première formule), d'autres sont fausses (2 est impair).
Comment on obtient la valeur de vérité ? Bonne question ! La valeur de vérité est donnée par une fonction mathématique, qui va "interpréter" les formules. Cette fonction peut donner par exemple la valeur "vraie" à "je suis beau", et fausse à "je suis fort". Dans le cas, la formule "je suis beau" ET "je suis fort" sera fausse ... J'en dirai pas plus là dessus, mais c'est important : c'est ce qui donne une sémantique, un sens, aux formules logiques.
Un système logique est complet si à partir des axiomes et des règles de déduction, on peut déduire toute les formules logiques "vraies".
Un exemple de déduction : si tu as deux axiomes "je suis beau" et "je suis fort", t'as en général une règle pour le ET logique qui permet de déduire que la formule "Je suis beau ET je suis fort" sera vraie dans le système logique.
Si tu n'as qu'un seul des deux axiomes, tu ne peux plus dériver la formule, et le système logique est incomplet. Je suis beau et je suis fort, mais le système logique ne pourra pas le déduire.
T'as un théorème célèbre, celui de Godel, qui dit qu'un système assez puissant pour modéliser l'arithmétique ne peut être à la fois correct et complet.
[^] # Re: Curieux
Posté par thoasm . En réponse au journal Système d'exploitation et religion. Évalué à 3.
La complétude c'est un peu plus compliqué : dans un système logique tu as
* des axiomes,
* des règles de déduction,
* des formules logiques. Genre par exemple "je suis beau ET je suis fort" "2 est pair" "2 est impair" ...
Certaines de ces formules sont vraies (2 est pair, la première formule), d'autres sont fausses (2 est impair).
Comment on obtient la valeur de vérité ? Bonne question ! La valeur de vérité est donnée par une fonction mathématique, qui va "interpréter" les formules. Cette fonction peut donner par exemple la valeur "vraie" à "je suis beau", et fausse à "je suis fort". Dans le cas, la formule "je suis beau" ET "je suis fort" sera fausse ... J'en dirai pas plus là dessus, mais c'est important : c'est ce qui donne une sémantique, un sens, aux formules logiques.
Un système logique est complet si à partir des axiomes et des règles de déduction, on peut déduire toute les formules logiques "vraies".
Un exemple de déduction : si tu as deux axiomes "je suis beau" et "je suis fort", t'as en général une règle pour le ET logique qui permet de déduire que la formule "Je suis beau ET je suis fort" sera vraie dans le système logique.
Si tu n'as qu'un seul des deux axiomes, tu ne peux plus dériver la formule, et le système logique est incomplet. Je suis beau et je suis fort, mais le système logique ne pourra pas le déduire.
T'as un théorème célèbre, celui de Godel, qui dit qu'un système assez puissant pour modéliser l'arithmétique ne peut être à la fois correct et complet.