Tout d'abord, la formule de départ (1+x)^n >=1+nx m'est inconnue...
Cela ressemble à une formule de développement limité (dl):
lorsque x->0, on a : (1+x)^n = 1 + nx + n(n-1)x^2/(2!) + n(n-1)(n-2)x^3/(3!) + n(n-1)...(n-p)x^p / (p!) + x^(p+1)*epsilon(x)
où epsilon est la fonction reste qui tend vers 0 quand x tend vers 0.
(je fais de tête, je peux me tromper)
Mes souvenirs de dl datent un peu, mais on doit pouvoir montrer que le reste est toujours positif. Bref, supposons cette formule vraie.
(1+x)^(n+1)=(1+x)*(1+x)*...(1+x) (n+1 fois)
=(1+x)*(1+x)^n
Or (1+x)^n >= 1+ nx
En multipliant membre à membre par 1+x, on a :
(1+x)^(n+1) >= (1+nx)*(1+x)
# Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....
Posté par Remuz . En réponse au journal Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire..... Évalué à 1.
Cela ressemble à une formule de développement limité (dl):
lorsque x->0, on a : (1+x)^n = 1 + nx + n(n-1)x^2/(2!) + n(n-1)(n-2)x^3/(3!) + n(n-1)...(n-p)x^p / (p!) + x^(p+1)*epsilon(x)
où epsilon est la fonction reste qui tend vers 0 quand x tend vers 0.
(je fais de tête, je peux me tromper)
Mes souvenirs de dl datent un peu, mais on doit pouvoir montrer que le reste est toujours positif. Bref, supposons cette formule vraie.
(1+x)^(n+1)=(1+x)*(1+x)*...(1+x) (n+1 fois)
=(1+x)*(1+x)^n
Or (1+x)^n >= 1+ nx
En multipliant membre à membre par 1+x, on a :
(1+x)^(n+1) >= (1+nx)*(1+x)
Or (1+nx)*(1+x) = 1 + nx+x+nx^2
= 1 + (n+1)x + nx^2
donc (1+x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x + nx^2
Si l'on suppose n et x >0, on a nx^2 > 0 donc
1 + (n+1)x + nx^2 >1 + (n+1)x
d'ou (1+x)^(n+1) >= 1 + (n+1)x + nx^2
>= 1 + (n+1)x
Donc, pas de disparition du = , et on pouvait aisement utiliser la formule de depart en remplacant n par n+1.
J'ai un peu l impression d'avoir brasse de l'air, mais si j'ai pu aider un peu...