Du coup, est-ce que ce soucis de vocabulaire se pose vraiment maintenant en pratique à un moment du cursus ?
À mon avis, pas souvent.
Ce qui est «à la limite» dans la limite pointée x\to a est la taille de l'intervalle autour de a.
Ce qui est «à la limite» dans la limite épointée x\to a, est bien le x.
Le mot «limite» et la notation x\to a décrivent précisément la limite épointée et non pointée.
Si tu prends la fonction f qui vaut zéro partout sauf en où elle vaut 1. Avec la limite épointée, on peut dire «la limite en zéro existe et vaut zéro». Avec la limite pointée, on n'a juste pas le vocabulaire qu'il faut pour décrire la régularité de cette fonction.
Prend l'énoncé "deux fonctions f et g continues égales partout sauf peut être en un point a sont égales partout". La limite épointée permet d'énoncer la démonstration sous la forme "trivialement, lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x). Or les fonctions sont continues et sont donc partout égales à leur limite. Fin."
Avec la limite pointée, il faut chipotter un peu plus parce qu'on ne peut pas cacher la difficulté sous le théorème "une fonction est continue en a si et seulement si f(a)=\lim_{x\to a}f(x)".
Le fameux théorème de composition s'énonce "la composée de fonctions continues est continue"; dans le cadre de la limite pointée, ça n'a aucun intérêt de l'énoncer avec des limites.
Énoncé avec des limites épointées, ce théorème est, certes, un poil plus compliqué, mais il dit un peu plus.
Là je me permet d'insister : l'argument du théorème de composition n'est pas convainquant; au contraire, il montre la supériorité de la limite épointée parce qu'elle permet de dire plus.
À mon avis, fondamentalement, la limite épointée est meilleure parce qu'elle permet d'assurer ses arrières. Il n'y a aucun cas où elle est "moins bien" (parce que la notion de continuité recouvre bien la limite pointée), mais :
elle est plus fine et donc permet de faire des distinctions plus riches entre les différents niveaux de régularité. Il y a quelque cas où ça peut servir, et en particulier on assure ses arrières au cas où on tombe sur un cas où c'est obligatoire;
elle est utilisée partout; utiliser la limite pointée c'est comme utiliser la lettre \epsilon pour désigner un entier qui tend vers l'infini. C'est pas faux en soi ... mais ... ça provoque des malentendus inutiles.
[^] # Re: Limite en un point
Posté par LaurentClaessens (site web personnel) . En réponse à la dépêche Le Frido, livre collaboratif de mathématique de niveau agrégation et un peu plus. Évalué à 2. Dernière modification le 18 septembre 2019 à 07:19.
À mon avis, pas souvent.
Ce qui est «à la limite» dans la limite pointée x\to a est la taille de l'intervalle autour de a.
Ce qui est «à la limite» dans la limite épointée x\to a, est bien le x.
Le mot «limite» et la notation x\to a décrivent précisément la limite épointée et non pointée.
Si tu prends la fonction f qui vaut zéro partout sauf en où elle vaut 1. Avec la limite épointée, on peut dire «la limite en zéro existe et vaut zéro». Avec la limite pointée, on n'a juste pas le vocabulaire qu'il faut pour décrire la régularité de cette fonction.
Prend l'énoncé "deux fonctions f et g continues égales partout sauf peut être en un point a sont égales partout". La limite épointée permet d'énoncer la démonstration sous la forme "trivialement, lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x). Or les fonctions sont continues et sont donc partout égales à leur limite. Fin."
Avec la limite pointée, il faut chipotter un peu plus parce qu'on ne peut pas cacher la difficulté sous le théorème "une fonction est continue en a si et seulement si f(a)=\lim_{x\to a}f(x)".
Le fameux théorème de composition s'énonce "la composée de fonctions continues est continue"; dans le cadre de la limite pointée, ça n'a aucun intérêt de l'énoncer avec des limites.
Énoncé avec des limites épointées, ce théorème est, certes, un poil plus compliqué, mais il dit un peu plus.
Là je me permet d'insister : l'argument du théorème de composition n'est pas convainquant; au contraire, il montre la supériorité de la limite épointée parce qu'elle permet de dire plus.
À mon avis, fondamentalement, la limite épointée est meilleure parce qu'elle permet d'assurer ses arrières. Il n'y a aucun cas où elle est "moins bien" (parce que la notion de continuité recouvre bien la limite pointée), mais :