Un cercle quelconque est égal à un triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon de ce cercle, et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de ce même cercle.
Dans le même traité, il donne une approximation de \Pi par la fraction 22 / 7 (proposition 2).
Ils admettaient (pour des raisons de complétude) que toutes les proportions étaient réalisables, mais ils n'en proposaient par pour autant une construction effective (il y a même là impossibilité pour la trisection de l'angle).
Du côté de chez Euclide, dans son livre IV, où il traite des polygones inscrits et circonscrits, il ne fournit que la construction effective pour le triangle, le carré, le pentagone, l'hexagone et le quindécagone. Le dernier cas est une bonne illustration de la façon dont le géomètres grecs pratiquaient le raisonnement par analyse-synthèse, où la solution est obtenue par combinaison de celle du triangle équilatéral et du pentagone régulier.
Par contre, des livres disponibles sur ce site, je n'ai pas trouvé la preuve du fait que tous les cercles sont semblables (et donc que la circonférence est proportionnelle au diamètre). Il manque la livre V qui traite de la théorie des proportions (en langue moderne, cette partie fait abstraction de la nature des objets dont on considère les proportions et se retrouve proche d'une théorie qui ferait des proportions un corps et des objets un espace vectoriel sur ce corps). S'ensuit le livre VI où il traite de la similitude (de nos jours on incorpore ce concept dans l'axiomatique même des espaces vectoriels), on y trouve bien la preuve du théorème de Thalès mais toujours pas celle de la similitude des cercles. En revanche, au livre XI, on a bien un théorème sur la proportion des surfaces de polygones semblables inscrits dans des cercles, ainsi que celui de la proportion entre la surface d'un cercle et la carré de son diamètre.
Mais l'approche que je voulais souligner chez les anciens et le recours à la méthode d'exhaustion ancêtre du calcul infinitésimal. D'après Wikipédia, Archimède l'aurait utilisée avec pour séries les polygones réguliers avec 2n côtés : il part du carré inscrit puis procède par bisection de chaque angle entre des sommets consécutifs et le centre (la bissectrice c'est une construction effective).
Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.
[^] # Re: Il faut bien lire ce qu'on lit!
Posté par kantien . En réponse au journal Le retour de la vengeance de la virgule flottante. Évalué à 4.
Oui et cela sans aucun soucis, voir cette proposition d'Archimède :
Dans le même traité, il donne une approximation de \Pi par la fraction
22 / 7(proposition 2).Ils admettaient (pour des raisons de complétude) que toutes les proportions étaient réalisables, mais ils n'en proposaient par pour autant une construction effective (il y a même là impossibilité pour la trisection de l'angle).
Du côté de chez Euclide, dans son livre IV, où il traite des polygones inscrits et circonscrits, il ne fournit que la construction effective pour le triangle, le carré, le pentagone, l'hexagone et le quindécagone. Le dernier cas est une bonne illustration de la façon dont le géomètres grecs pratiquaient le raisonnement par analyse-synthèse, où la solution est obtenue par combinaison de celle du triangle équilatéral et du pentagone régulier.
Par contre, des livres disponibles sur ce site, je n'ai pas trouvé la preuve du fait que tous les cercles sont semblables (et donc que la circonférence est proportionnelle au diamètre). Il manque la livre V qui traite de la théorie des proportions (en langue moderne, cette partie fait abstraction de la nature des objets dont on considère les proportions et se retrouve proche d'une théorie qui ferait des proportions un corps et des objets un espace vectoriel sur ce corps). S'ensuit le livre VI où il traite de la similitude (de nos jours on incorpore ce concept dans l'axiomatique même des espaces vectoriels), on y trouve bien la preuve du théorème de Thalès mais toujours pas celle de la similitude des cercles. En revanche, au livre XI, on a bien un théorème sur la proportion des surfaces de polygones semblables inscrits dans des cercles, ainsi que celui de la proportion entre la surface d'un cercle et la carré de son diamètre.
Mais l'approche que je voulais souligner chez les anciens et le recours à la méthode d'exhaustion ancêtre du calcul infinitésimal. D'après Wikipédia, Archimède l'aurait utilisée avec pour séries les polygones réguliers avec 2n côtés : il part du carré inscrit puis procède par bisection de chaque angle entre des sommets consécutifs et le centre (la bissectrice c'est une construction effective).
Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.