Pour le plaisir de digresser, je ne pense pas que qu'on puisse vraiment procéder de cette façon, parceque l'algorithme en question utilise déjà π puisqu'on ne sait pas construire les polygones réguliers autrement qu'en disant que le polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité a pour sommets e^(2iπ * k / n).
Il y a méprise sur ce que je voulais dire : c'est ainsi que l'on démontre, d'après les principes de la géométrie euclidienne, que dans celle-ci le périmètre d'un cercle est proportionnel à son diamètre. C'est-à-dire par triangulisation (les grecs anciens triangulaient tout et dans ce cas découpaient les polygones réguliers en autant de triangles que nécessaires) puis en appliquant le théorème de Thalès à chaque étape de la construction : les polygones réguliers des deux cercles sont semblables à chaque étapes et leurs périmètres sont dans la même proportion que les diamètres des cercles, il en est donc de même des périmètres des cercles. Ergo, le périmètre d'un cercle est dans un rapport constant avec son diamètre que l'on appellera \Pi. Il y a là un passage à la limite qui n'était pas totalement justifié par les anciens et qui ne fut correctement formalisé que par Cauchy (via sa notion d'espace complet) ou par Dedekin (via ses coupures). Ceci étant ce processus est (partiellement ?) constructible à la règle et au compas, donc par des procédés algébriques bien que sa limite soit transcendante.
Je ne voulais pas dire par là que cette approche fournit un algorithme effectif de calcul de \Pi implantable sur machine. C'est un peu comme quand les pythagoriciens on découvert l'irrationnalité de \sqrt{2} (ce qui foutu un sacré bordel dans leur conception du monde) et que plus tard Socrate fit résoudre le problème de la duplication du carré à un esclave ignorant dans le dialogue du Ménon : si tu n'arrives pas à décrire une procédure qui te donne la solution, montre moi la ligne qui résout le problème, à savoir la diagonale du carré :
SOCRATE — Combien de pieds a donc cet espace ?
L’ESCLAVE — Huit pieds.
SOCRATE — De quelle ligne est-il formé ?
L’ESCLAVE — De celle-ci.
SOCRATE — De la ligne qui va d’un angle à l’autre de l’espace de quatre pieds ?
L’ESCLAVE — Oui.
SOCRATE — Les savants appellent cette ligne diamètre. Ainsi, supposé que ce soit là son nom, l’espace double, esclave de Menon, se formera, comme tu dis, du diamètre.
L’ESCLAVE — Vraiment oui, Socrate.
Là on a du Socrate cité par Platon cité par kantien sur un forum linuxfrien, mais il me semble bien que Lincoln est d'accord sur l'origine de la source. ;-)
Si tu vas lire le début du dialogue, tu verras qu'au début l'esclave propose de doubler le côté du carré, puis tente le ratio 3/2 (on se rapproche de la bonne valeur) mais voyant qu'il n'y arrivera pas, Socrate l'oriente vers la bonne réponse.
Sinon toujours dans le rapport géométrie-mathématique-informatique, l'interprétation des géométries hyperboliques dans la géométrie euclidienne par Poincaré :
Considérons un certain plan que j’appellerai fondamental et construisons une sorte de dictionnaire, en faisant correspondre chacun à chacun une double suite de termes écrits dans deux colonnes, de la même façon que se correspondent dans les dictionnaires ordinaires les mots de deux langues dont la signification est la même :
Espace. . . . . Portion de l’espace située au-dessus du plan fondamental.
Plan. . . . . Sphère coupant orthogonalement le plan fondamental.
Droite. . . . . Cercle coupant orthogonalement le plan fondamental.
Sphère. . . . . Sphère.
Cercle. . . . . Cercle.
Angle. . . . . Angle.
Distance de deux
points. . . . . Logarithme du rapport anharmonique de ces deux points et des
. . . . . . . . intersections du plan fondamental avec un cercle passant par ces deux
. . . . . . . . points et le coupant orthogonalement.
etc... etc...
Prenons ensuite les théorèmes de Lobatchevsky et traduisons-les à l’aide de ce dictionnaire comme nous traduirions un texte allemand à l’aide d’un dictionnaire allemand-français. Nous obtiendrons ainsi des théorèmes de la géométrie ordinaire.
Par exemple, ce théorème de Lobatchevsky : « la somme des angles d’un triangle est plus petite que deux droits » se traduit ainsi : « Si un triangle curviligne a pour côtés des arcs de cercle qui prolongés iraient couper orthogonalement le plan fondamental, la somme des angles de ce triangle curviligne sera plus petite que deux droits ». Ainsi, quelque loin que l’on pousse les conséquences des hypothèses de Lobatchevsky, on ne sera jamais conduit à une contradiction. En effet, si deux théorèmes de Lobatchevsky étaient contradictoires, il en serait de même des traductions de ces deux théorèmes, faites à l’aide de notre dictionnaire, mais ces traductions sont des théorèmes de géométrie ordinaire et personne ne doute que la géométrie ordinaire ne soit exempte de contradiction.
Bah voilà, son dictionnaire c'est analogue à un schème de compilation : il traduit les primitives d'un langage dans les primitives d'un autre avec préservation de la sémantique et, à partir de là, tous les énoncés de l'un se traduisent en un énoncé de l'autre. :-)
Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.
[^] # Re: Il faut bien lire ce qu'on lit!
Posté par kantien . En réponse au journal Le retour de la vengeance de la virgule flottante. Évalué à 3. Dernière modification le 24 janvier 2018 à 00:59.
Il y a méprise sur ce que je voulais dire : c'est ainsi que l'on démontre, d'après les principes de la géométrie euclidienne, que dans celle-ci le périmètre d'un cercle est proportionnel à son diamètre. C'est-à-dire par triangulisation (les grecs anciens triangulaient tout et dans ce cas découpaient les polygones réguliers en autant de triangles que nécessaires) puis en appliquant le théorème de Thalès à chaque étape de la construction : les polygones réguliers des deux cercles sont semblables à chaque étapes et leurs périmètres sont dans la même proportion que les diamètres des cercles, il en est donc de même des périmètres des cercles. Ergo, le périmètre d'un cercle est dans un rapport constant avec son diamètre que l'on appellera \Pi. Il y a là un passage à la limite qui n'était pas totalement justifié par les anciens et qui ne fut correctement formalisé que par Cauchy (via sa notion d'espace complet) ou par Dedekin (via ses coupures). Ceci étant ce processus est (partiellement ?) constructible à la règle et au compas, donc par des procédés algébriques bien que sa limite soit transcendante.
Je ne voulais pas dire par là que cette approche fournit un algorithme effectif de calcul de \Pi implantable sur machine. C'est un peu comme quand les pythagoriciens on découvert l'irrationnalité de \sqrt{2} (ce qui foutu un sacré bordel dans leur conception du monde) et que plus tard Socrate fit résoudre le problème de la duplication du carré à un esclave ignorant dans le dialogue du Ménon : si tu n'arrives pas à décrire une procédure qui te donne la solution, montre moi la ligne qui résout le problème, à savoir la diagonale du carré :
Là on a du Socrate cité par Platon cité par kantien sur un forum linuxfrien, mais il me semble bien que Lincoln est d'accord sur l'origine de la source. ;-)
Si tu vas lire le début du dialogue, tu verras qu'au début l'esclave propose de doubler le côté du carré, puis tente le ratio 3/2 (on se rapproche de la bonne valeur) mais voyant qu'il n'y arrivera pas, Socrate l'oriente vers la bonne réponse.
Sinon toujours dans le rapport géométrie-mathématique-informatique, l'interprétation des géométries hyperboliques dans la géométrie euclidienne par Poincaré :
Bah voilà, son dictionnaire c'est analogue à un schème de compilation : il traduit les primitives d'un langage dans les primitives d'un autre avec préservation de la sémantique et, à partir de là, tous les énoncés de l'un se traduisent en un énoncé de l'autre. :-)
Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.