Ici il y a plein de petites déviations de terminologie, qui dépend de la spécialité. Quand on fait de l'arithmétique ou de la géométrie algébrique on considère que les anneaux et a fortiori les corps sont commutatifs et ont une unité et on nomme tout ce qui diverge dans le grand fourre-tout des "algèbres" que l'on qualifie de manière ad-hoc (algébre unitaire ou non, commutative ou non, associative ou non, etc.) Mais dans les spécialités (géométrie non-commutative par exemple :-) ) on peut trouver des terminologies divergentes.
Petite correction sur mon commentaire précèdent : la véritable différence entre un corps et un anneau, c'est l'existence de la division (la multiplication est inversible).
Pour être plus précis, où tout élément non nul est inversible. Exemples notoires élémentaires d'anneaux qui ne sont pas des corps: l'anneau des nombres entiers (car 1 n'est le double d'aucun nombre entier p.ex.) et l'anneau des entiers modulo 6 (parceque 3 x 2 y vaut 0, donc ici aussi 1 n'est le double d'aucun nombre.) et pour les corps, les nombres rationnels, réels, et complexes, et les entiers modulo un nombre premier.
Sur les rapports entre anneaux et géométrie il y a le joli petit livre de Pierre Samuel "géométrie projective" qui part des axiomes de la géométrie plane pour retrouver le corps des scalaires sous-jascent (avec les figures que tu mentionnais) et redécouvre les corps finis dans son analyse.
Les quaternions sont associatifs et pas commutatifs (ij = - ij) et les octonions ne sont effectivement ni commutatifs, ni associatifs.
[^] # Re: HS math : polynômes de complexe
Posté par Michaël (site web personnel) . En réponse à la dépêche Le Frido : un livre, libre, de mathématiques pour l’agrégation. Évalué à 4.
Ici il y a plein de petites déviations de terminologie, qui dépend de la spécialité. Quand on fait de l'arithmétique ou de la géométrie algébrique on considère que les anneaux et a fortiori les corps sont commutatifs et ont une unité et on nomme tout ce qui diverge dans le grand fourre-tout des "algèbres" que l'on qualifie de manière ad-hoc (algébre unitaire ou non, commutative ou non, associative ou non, etc.) Mais dans les spécialités (géométrie non-commutative par exemple :-) ) on peut trouver des terminologies divergentes.
Pour être plus précis, où tout élément non nul est inversible. Exemples notoires élémentaires d'anneaux qui ne sont pas des corps: l'anneau des nombres entiers (car 1 n'est le double d'aucun nombre entier p.ex.) et l'anneau des entiers modulo 6 (parceque 3 x 2 y vaut 0, donc ici aussi 1 n'est le double d'aucun nombre.) et pour les corps, les nombres rationnels, réels, et complexes, et les entiers modulo un nombre premier.
Sur les rapports entre anneaux et géométrie il y a le joli petit livre de Pierre Samuel "géométrie projective" qui part des axiomes de la géométrie plane pour retrouver le corps des scalaires sous-jascent (avec les figures que tu mentionnais) et redécouvre les corps finis dans son analyse.
Les quaternions sont associatifs et pas commutatifs (ij = - ij) et les octonions ne sont effectivement ni commutatifs, ni associatifs.