J'ai pas trop le temps de développer, ni de mettre de jolis dessins, mais ce serait peut être plus simple de commencer avec les complexes et leur interprétation en géométrie plane (un plan c'est plus simple et plus intuitif qu'une espace à 4 dimensions ou une sphère à 3 dimensions ;-).
Disons que quand je lis l'équation i^2=-1, je l'interprète comme « deux quarts de tour font un demi-tour ». Les opérations algébriques (addition et multiplication) entre nombres complexes peuvent se voir comme des transformations du plan dans lui même :
l'addition c'est une translation
la multiplication c'est la composition d'une rotation et d'une dilatation (homothétie en langage mathématique).
On pourrait faire des dessins pour les représenter géométriquement dans un plan :
l'addition c'est la diagonale d'un parallélogramme
la multiplication c'est la construction de deux triangles semblables (ils ont les même angles, c'est Thalès)
Pour la multiplication de w par z : on voit w comme un point du plan et on construit le triangle qui a w pour sommet et le segment [0 ; 1] pour base. Le produit zw est le sommet du triangle semblable au précèdent avec pour base le segment [O ; z].
Pour le lien complexe-matrice, quand on voit la multiplication par i comme une rotation d'un quart de tour dans le sens directe, cela revient à le voir comme la matrice :
0 -1
1 0
ce qui se voit aussi sur l'équation i * (a + b * i) = (-b) + a * i.
Pareil, un complexe de module 1 c'est une rotation, c'est à dire une transformation qui envoie un cercle sur lui-même quand son centre est celui de la rotation.
Après, pour les quaternions c'est pareil mais en dimension 4 au lieu de la dimension 2, et ceux de normes 1 préservent une sphère de dimension 3 (= 4 - 1) au lieu d'une sphère de dimension 1 (= 2 - 1), i.e un cercle.
Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.
[^] # Re: HS math : polynômes de complexe
Posté par kantien . En réponse à la dépêche Le Frido : un livre, libre, de mathématiques pour l’agrégation. Évalué à 6.
Ouch, t'es violent quant tu t'y mets ! :-P
J'ai pas trop le temps de développer, ni de mettre de jolis dessins, mais ce serait peut être plus simple de commencer avec les complexes et leur interprétation en géométrie plane (un plan c'est plus simple et plus intuitif qu'une espace à 4 dimensions ou une sphère à 3 dimensions ;-).
Disons que quand je lis l'équation i^2=-1, je l'interprète comme « deux quarts de tour font un demi-tour ». Les opérations algébriques (addition et multiplication) entre nombres complexes peuvent se voir comme des transformations du plan dans lui même :
On pourrait faire des dessins pour les représenter géométriquement dans un plan :
Pour la multiplication de
wparz: on voitwcomme un point du plan et on construit le triangle qui awpour sommet et le segment[0 ; 1]pour base. Le produitzwest le sommet du triangle semblable au précèdent avec pour base le segment[O ; z].Pour le lien complexe-matrice, quand on voit la multiplication par i comme une rotation d'un quart de tour dans le sens directe, cela revient à le voir comme la matrice :
ce qui se voit aussi sur l'équation i * (a + b * i) = (-b) + a * i.
Pareil, un complexe de module 1 c'est une rotation, c'est à dire une transformation qui envoie un cercle sur lui-même quand son centre est celui de la rotation.
Après, pour les quaternions c'est pareil mais en dimension 4 au lieu de la dimension 2, et ceux de normes 1 préservent une sphère de dimension 3 (= 4 - 1) au lieu d'une sphère de dimension 1 (= 2 - 1), i.e un cercle.
Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.